Элементарная математика

Базовый учебник

[1] Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ элементар-ных функций. – М.: НТЦ «Университетский», 1997.

Основная литература

[1] Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ элементар-ных функций. – М.: НТЦ «Университетский», 1997.

[2] Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. – М.: Высшая школа, 1979.

10.3 Дополнительная литература

[3] Шарыгин И. Ф. Математика для поступающих в вузы: учебное пособие / И. Ф. Шарыгин. — 6-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2006.

[4] Математика: Сборник задач с решениями для поступающих в вузы. / Под ред. В.М. Говорова, Н.В. Мирошина - М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ», 2002.

[5] 3000 конкурсных задач по математике. 2 изд., испр. и доп. - М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины Алгебра и Геометрия

1. Система координат. Векторы. Орты, направляющие векторы, направляющие косинусы.

2. Скалярное произведение, вычисление в координатах.

3. Векторное произведение векторов, вычисление в координатах. Геометрический смысл.

4. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл, вычисление в координатах.

5. Прямые и плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Параметрическое и каноническое уравнения прямой.

6. Вычисление угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

7. Общее уравнение плоскости в пространстве. Вычисление угла между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

8. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

9. Сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Алгебра квадратных матриц. Элементарные преобразования систем линейных уравнений и матриц.

10. Метод Гаусса. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Главные (базисные) и свободные неизвестные.

11. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Миноры, алгебраические дополнения, разложение определителя по элементам строки и столбца. Определитель с углом нулей. Определитель произведения двух матриц.

12. Обратная матрица. Критерий существования и формула обратной матрицы. Метод нахождения обратной матрицы с помощью приписывания единичной матрицы.

13. Системы уравнений. Решение матричных уравнений с помощью нахождения обратной матрицы.

14. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Теорема о базисном миноре. Ранг произведения матриц.

15. Фундаментальная система решений и общее решение однородной системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.

16. Линейное пространство. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Линейная оболочка системы векторов. Базис, размерность. Ранг системы векторов. Координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Теорема об изоморфизме.

17. Изменение координат вектора при изменении базиса. Матрица перехода от старого базиса к новому.

18. Подпространства в линейном пространстве. Размерность линейной оболочки конечной системы векторов.

19. Линейные отображения и линейные преобразования (операторы) линейного пространства. Их матрицы.

20. Образ и ядро линейного отображения.

21. Операции над линейными преобразованиями. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.

22. Собственное значение, собственный вектор линейного преобразования. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям.

23. Нахождение собственных значений и собственных векторов. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.

24. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.

25. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского, длины векторов и углы между ними.

26. Матрица Грама. Ортонормированный базис, процесс ортогонализации.

27. Переход от одного ортонормированного базиса к другому. Ортогональные матрицы.

28. Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом пространстве. Ортогональная проекция вектора на подпространство (задача наилучшего приближения).

29. Самосопряженные преобразования евклидовых пространств. Свойства их собственных векторов и собственных значений. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного преобразования в евклидовом пространстве.

30. Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве.

31. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм.

32. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

33. Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Отыскание ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.

34. Бинарные операции на множестве и их классификация. Группоиды. Нейтральные и симметричные элементы.

35. Группы, кольца, поля. Примеры и простейшие свойства.

36. Отношение делимости целых чисел. Деление с остатком.

37. Наибольший общий делитель целых чисел и его нахождение с использованием алгоритма Евклида. Наименьшее общее кратное целых чисел.

38. Простые числа. Основная теорема арифметики.

39. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма записи.

40. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Геометрические свойства корней из комплексного числа. Решение квадратных уравнений.

41. Кольцо многочленов над полем. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.

42. НОК и НОД многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Каноническое разложение многочлена.

43. Сравнимость целых чисел по модулю.

44. Построение кольца классов вычетов по заданному модулю. Описание обратимых элементов и делителей нуля в этом кольце.

45. Функция Эйлера и ее свойства.

46. Решение сравнений. Китайская теорема об остатках.

47. Сравнимость многочленов. Кольцо классов вычетов кольца многочленов. Построение полей заданного порядка.

Поиск по сайту: