Теоретическая механика

Статика

Методические указания и задания к выполнению контрольной работы №1 для студентов специальностей 270102 «Промышленное и гражданское строительство», 151001 «Технология машиностроения» и

190205 «Подъемно-транспортные, строительные и дорожные машины и оборудование»

заочной формы обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2010

ВВЕДЕНИЕ

В методических указаниях приводятся задания к выполнению контрольной работы №1, правила их выполнения и оформления.

К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. 5.4 это схема 4 к задаче С1 и т. д. Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.

Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице - по последней.

Каждое задание выполняется в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, фамилия и инициалы студента, учебный номер (шифр), а также дату отсылки работы в институт и адрес студента.

Решение каждой задачи обязательно начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй, иначе, работу трудно, проверять). Сверху указывается номер задачи, далее делается чертеж (можно карандашом) и записывается, что в задаче дано и что требуется определить, (текст задали не переписывать). Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; на нем все углы, действующие силы, число тел и их расположение на чертеже должны соответствовать условию. В результате в целом ряде задач чертеж получается более простой, чем общий.

Чертеж должен быть аккуратным и наглядным. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные результаты и т. п.) и подробно излагать весь ход расчетов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.

Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, про­веряться не будут, а будут возвращаться для переделки.

К работе, высылаемой на повторную проверку (если она выполнена в другой тетради), должна обязательно прилагаться незачтенная работа.

На экзамене необходимо представить зачтенные по данному разделу курса работы, в которых все отмеченные рецензентом погрешности должны быть исправлены.

При чтении текста каждой задачи учесть следующее. Большинство рисунков дано без соблюдения масштаба. Также без оговорок считается, что все нити (веревки, тросы) являются нерастяжимыми и невесомыми, нити, перекинутые через блок, по блоку не скользят.

Когда тела на рисунке пронумерованы, то в тексте задач и в таблице P₁,l₁,r₁ и т. п. означают вес или размеры тела 1; P₂,l₂,r₂ - тела 2 и т. д. В каждой задаче подобные обозначения могут тоже специально не оговариваться.

Следует также иметь в виду, что некоторые из заданных в условиях задачи величин (размеров) при решении каких-нибудь вариантов могут не понадобиться, они нужны для решения других вариантов задачи.

Из всех пояснений в тексте задачи обращайте внимание только на относящиеся к вашему варианту, т. е. номеру вашего рисунка или вашего условия в таблице.

Методические указания по решению задач, входящих в контрольные задания, даются для каждой задачи после ее текста под рубрикой «План решения»; затем дается пример решения аналогичной задачи. Цель примера - разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми пояснениями; в конце должны быть даны ответы.

В методические указания включены некоторые теоретические материалы для помощи студентам в решении задач, входящих в контрольные задания.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Фермы и методы расчета ферм

Ферма - это геометрически неизменяемая шарнирно-стержневая конст-рукция (рис. 1).

При расчете ферм учитывают упрощения:

1.Все внешние нагрузки прикладывают только к узлам фермы.

2.Все усилия, возникающие в стержнях считают усилиями растяжения или сжатия.

3.Все узлы считаются идеальными шарнирами, то есть трение в них не учитываются.

Рис. 1 Пример фермы

Перед расчетом ферму проверяют на статическую определимость по формуле:

S+3=2·n, (1)

где S – количество стержней, n – количество узлов.

Ферма на рис. 1 статически определима, т.к. 15+3=9·2 18=18.

Статически определимыми называются задачи, которые можно решать методами статики твердого тела, т.е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия сил.

Статическим неопределимыми называют задачи с числом неизвестных, превышающим число уравнений равновесия, т.е. задачи, которые нельзя решать методами статики твердого тела и для решения которых нужно учитывать деформации тела, обусловленные внешними нагрузками.

Для упрощения расчетов используют леммы о нулевых стержнях:

1.Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся 2 стержня, то усилия в них равны нулю. Например, в ферме, изображенной на рис. 1, усилия S₁₃=S₁₅=0

2.Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся 3 стержня, 2 из которых лежат на одной прямой, то усилия в этих двух стержнях равны по модулю, а усилие в третьем стержне равно нулю. Например, в ферме, изображенной на рис. 1, усилия S₈=S₃, S₄=0.

3.Если в узле плоской фермы сходятся 2 стержня и к узлу приложена внешняя нагрузка, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю внешней нагрузке, а усилии во втором стержне равно нулю. Например, в ферме, изображенной на рис. 1, P₁=S₁, S₅=0

Связи и реакции связей

Тело, движение которого не ограничено в пространстве, называется свободным. Тело, движение которого ограничено другими телами – несвободным. Тела, ограничивающие движение данного тела – связями.

Принцип освобождаемости от связей: всякое несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если связи, ограничивающие его перемещение отбросить, а их действие заменить реакциями.

На рис. 2 изображены основные виды опор и возникающие в них реакции. Следует отметить, что для шарнирно-неподвижной опоры (рис. 2а) реакция такой опоры приложена в центре шарнира, ее направление неизвестно, поэтому полная реакция распадается на две составляющие Х_А, У_А. Модуль реакции определяется по формуле:

. (2)

Для опоры в виде выступа (рис. 2ж) или шпиля (рис. 2з) реакция приложена в точке контакта и направлена по нормали к поверхности тела. Ось ττ – касательная.

Виды нагрузок

1.Равномерно распределенная нагрузка (рис. 3а). q – интенсивность нагрузки [q]=[кН/м]. Данная нагрузка приводится к сосредоточенной силе: Q=q·l; [Q]=[кН]. Она прикладывается на расстоянии l/2 (рис. 3б).

2.Неравномерно распределенная нагрузка (рис. 3в). Данная нагрузка приводится к сосредоточенной силе: Q=1/2q_max·l. Она прикладывается на расстоянии l/3 от q_max (рис. 3г).

а)	б)
в)	г)
Рис. 3 Виды нагрузок и их приведение к сосредоточенным силам

Равновесие тела при наличии трения скольжения

Рассмотрим твердое тело, находящееся на шероховатой поверхности, на тело действует сдвигающее усилие S. При взаимодействии тел реакция R_A, возникающая в точке их контакта раскладывается на две составляющие: N – нормальная реакция поверхности, Fтр – сила трения (рис. 4а).

Рассмотрим систему тел (рис. 4б), состоящую из тела -1, блока -2, площадки с грузами -3 и нерастяжимой, невесомой нити -4. Покажем все действующие силы и возникающие реакции. G=mg – вес тела, N – реакция опоры, S – движущая сила. Сдвигающее усилие S равно по модулю весу третьего тела: S=G₃. Так как тело 1 находится в равновесии, запишем условия равновесия для полученной системы:

а)	б)
Рис. 4 Условия равновесия при наличии трения скольжения а) – реакции, возникающие при взаимодействии двух тел; б) – система тел и их реакции

(3)

В результате получим S= , N=G₁, т.е. при увеличении веса третьего тела увеличивается сдвигающее усилие, а следовательно и сила трения.

В некоторый момент времени величина F_тр достигает максимального значения и груз 1 начинает движение. Такое состояние тела 1 – состояние предельного равновесия = . Значение было установлено опытным путем. Закон Кулона:

. (4)

где f коэффициент трения скольжения является справочной величиной, зависит от материала и способа обработки поверхности. Получим условие равновесия тела при наличии трения скольжения .

Задача С1: ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР И УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ

Плоская ферма (рис. 5.0 - 5.9, табл. 1) опирается на шарнирно-неподвижную опору в точке А и на шарнирно-стержневую или шарнирно-подвижную опору в точке В. К узлам фермы приложены нагрузки, приведенные в таблице 1 (например, в условиях №1 на узел фермы действует сила P₂=5кН, Р₃=2кН). Найти усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов. При окончательных расчетах принять а=3 м.

План решения.

1.Проверяем ферму на статическую определимость по формуле S+3=2·n, где S – количество стержней, n – количество узлов.

2.Согласно принципу освобождаемости от связей, освобождаем ферму от внешних связей, а их действия заменяем реакциями. Для определения реакций опор составляем 3 уравнения равновесия.

3.Выявляем наличие стержней, в которых усилия равны нулю, используя леммы о нулевых стержнях.

4.Определяем усилия методом вырезания узлов. Для этого вырезаем узел фермы, к которому подходит стержень с неизвестным усилием, причем тот узел, где неизвестных не более двух. Выбираем оси и составляем уравнения равновесия узла в проекциях.

5.Графическим методом (построением многоугольника сил) проверяем правильность аналитических вычислений.

Таблица 1

Исходные данные к рисункам (5.1-5.9)

Рис. 5.0	Рис. 5.1
Рис. 5.2	Рис. 5.3
Рис. 5.4	Рис. 5.5
Рис. 5.6	Рис. 5.7
Рис. 5.8	Рис. 5.9

Пример:

Дано: P=8кН, a=3м, α=60°. Определить реакции опор и усилия в стержнях плоской фермы (рис. 6) методом вырезания узлов.

Решение:

1.Проверим ферму на статическую определимость по формуле:

S+3=2·n (5)

9+3=2·6 12=12, ферма статически определима.

2.Из условий равновесия фермы определим реакции и соответственно в опорах А и В. Реакцию в опоре B разложим на две составляющие и .

(6)

Проверка:

Модуль реакции опоры B равен: кН

Рис. 6 Пример фермы

а)	б)
Рис. 7 Узел А а) – расчетная схема б) - проверка

3.Выявляем нулевые стержни: согласно второй лемме о нулевых стержнях в узле Е усилия S₆=S₉ , S₇=0.

4.Определим усилия в стержнях фермы. Для этого поочередно выре-

заем узлы фермы и составляем для них уравнения равновесия. Начинать расчет нужно с того узла, где неизвестных не более двух. Все стержни считаем условно растянутыми.

S₈cos60°+S₉ =0 S₉=2,6кН;

а)	б)
Рис. 8 Узел Е а) – расчетная схема б) - проверка

5.Делаем проверку, вычислений построением многоугольника сил (рис. 7б). Примечание: проверку построением многоугольника сил следует производить для каждого рассматриваемого узла сразу после вычислений. При проверке усилия со знаком «-» ( ) направляются в противоположную сторону. Графический способ должен подтвердить алгебраический, то есть многоугольник сил должен быть замкнут.

Построение многоугольника сил ведется следующим образом: задается масштаб построения, затем в выбранном масштабе все силы последовательно выстраиваются в многоугольник сил, при этом, строго соблюдаются модуль и направление сил.

6. Вырезаем узел Е (рис. 8а). Согласно второй лемме о нулевых стержнях: S^’₉=S₆=2,6кН; S₇=0;

Делаем проверку, построением многоуголь-ника сил (рис. 8б).

7. Аналогично вычисляются усилия в остальных узлах:

(S^’₈-S₅)cos60°-S₄ =0 S₄=-5,3кН;

Узел C: P+S^’₄-S₁cos60° =0 S₁=5,3кН;

S₃+S₁sin60°=0 S₃=-4,6 кН;

Узел H: S^’₆-S₂+S^’₅ cos60° =0 S₂=5,3кН;

S^’₃+ S^’₅ sin60° =0 -4,6+5,3·0,866=0;

Узел B:

S^’₂ +S^’₁ cos60°-R_Bcosβ =0 5,3+5,3·0,5-9,23·0,866=0;

S^’₁ sin60°-R_Bsinβ =0 5,3·0,866-9,23·0,5=0;

Вырезанные узлы D, C, H, B и проверка значений усилий к ним показаны на рис. 9. Для узла В проверка не требуется. Результаты расчетов сведём в таблицу 2.

а)	б)	в)	г)
д)	е)	ж)
Рис. 9 Вырезанные узлы и проверки к ним а) -; б) -; в) -; г)- соответственно вырезанные узлы D; C; H; B; д) - ; е) - ; ж) – проверки к узлам D; C; H.

Таблица 2

Расчетные реакции опор и усилия в стержнях фермы

Задача С2: Определение реакций ОПОР рамы

Жесткая рама (рис. 10.0-10.9, табл. 3) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.

В точке N к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом P=25 кН. На раму действует пара сил с моментом М=60 кН·м, неравномерно распределенная, нагрузка две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в таблице (например, в условиях №1 на раму действуют неравномерно распределенная нагрузка со значениями q₁=5 кН/м и q₂=8кН/м, а также сила ₂ под углом 15° к горизонтальной оси, приложенная в точке D, и сила ₃ под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке H и т.д.).

Определить реакции связей в точках А, В, вызываемые дейст­вующими нагрузками. При окончательных расчетах принять а=0,5 м.

План решения

1. Согласно принципу освобождаемости от связей, освобождаем ферму от внешних связей, а их действия заменяем реакциями. Выбираем систему координат. В неподвижном шарнире имеются две неизвестные составляющие реак­ции (горизонтальная и вертикальная), а в невесомом опорном стержне — одна неизвестная реакция, направленная вдоль стержня. Натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебрегают, будут одинаковыми. Все на­клонные силы раскладываем на составляющие вдоль осей координат.

2. Составляем уравнение моментов всех сил, действующих на раму, относительно неподвижного шарнира.

При вычислении момента силы часто удобно разложить ее на составляющие ' и ", для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда M₀( )=M₀( ')+M₀( "). Определяем из этого уравне­ния реакцию опорного стержня.

Таблица 3

Исходные данные к расчету рамы

Силы
F1=10кН	F2=20кН	F3=30кН	F4=40кН
Номер условия	q1, кН/м	q2, кН/м	Точка при-ложения	α1, град	Точка при-ложения	α2, град	Точка при-ложения	α3, град	Точка при-ложения	α4, град
			С		-	-	-	-	К
			-	-	D		H		-	-
			K		-	-	-	-	H
			-	-	K		C		-	-
			D		-	-	-	-	H
			-	-	C		-	-	D
			H		-	-	K		-	-
			-	-	D		-	-	C
			C		-	-	D		-	-
			-	-	H		K		-	-

3. Составляем уравнения проекций всех сил на оси х и у. Из этих уравнений определяем составляющие реакции неподвижного шарнира (горизонтальную и вертикальную). Определяем модуль реакции неподвижного шарнира.

Рис. 10.0	Рис. 10.1
Рис. 10.2	Рис. 10.3
Рис. 10.4	Рис. 10.5
Рис. 10.6	Рис. 10.7
Рис. 10.8	Рис. 10.9

Пример:

Жесткая рама ABCD (рис. 11а) опирается на неподвижный шарнир А и наклонный не­весомый стержень В. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке. Дано: F=20кН, P=25 кН, М=60кНм, a=0,5м, α = 60°, β = 30°, q₁=10кН/м, q₂=20кН/м.

Найти реакции опор А и В.

Решение:

1.Освобождаем раму от связей (рис. 11б). Действие опор заменяем их ре­акциями. Выбираем систему координат с началом в точке А. В неподвижном шарнире А реакция _A имеет две неизвестные компоненты _А и _A. Невесомый опорный стержень в шарнире В заменяем на его реакцию, направленную по стержню (т.е. под углом β к горизонту). Натяжение троса T=P (по модулю). Распределенную нагрузку заменим сосредоточенными силами. В данном случае она состоит из равномерно- распределенной нагрузки Q₁=q₁l₂ (приложена в центре AN) и неравномерно-распределенной (приложена в т. К, КA= ), где l₂=3a=1,5м.

a)

б)

Рис. 11 Определение реакций в опорах рамы а) – пример рамы; б) – расчетная схема рамы

2.Неравномерную нагрузку заменим сосредоточенными силами:

(12)

3.Составляем уравнение моментов относительно шарнира A. При вычислении момента силы относительно точки A воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу на составляющие ' и " ( '=Fcosα, "=Fsinα) и учтем, что M_А( )=M_А( ') + M_А ( ").

R_B·cosβ·2a+R_B·sinβ·a-M- ·sinα·a- ·cosα·2a+Q₁·1.5a+Q₂·a=0 (13)

4.Реакции X_A и Y_A определяем уравнения проекций:

X_A-T- ·cosα+ R_B·cosβ=0 (14)

Y_A+ ·sinα+ R_B·sinβ-Q₁-Q₂=0 (15)

5.Модуль реакции R_A определим по формуле:

(16)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Ответ: X_A=-19,4кН, Y_A=11,3кН, R_A=22,5кН, R_B=57,0кН. Знак –«-» указывает, что _A направлена противоположно показанной на рис. 11б.

Задача С3: Равновесие тел с учетом сил трения

Определить, при каких значениях силы F возможно равновесие конструк­ции, если коэффициент трения скольжения между тормозной колодкой и ка­сающимся с ней телом равен f. Шириной колодки пренебречь, считая контакт точечным. Определить также реакции опор О, А, В, С, D, соответствующие предельному состоянию равновесия конструкции (если таковые имеются). Трением в шарнирах и опо­рах пренебречь. Схемы вариантов приведены на рис. 12.0-12.9, а необходимые дан­ные - в таблице 4.

План решения.

1.Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого разбиваем систему на отдельные части, для которых составляем и решаем уравнения равновесия. Из решения определяем предельное значение нагрузки.

2.Предельное значение силы трения связываем с величиной нормальной реакции опоры N по формуле Кулона F_тр=Nf , где f - коэффициент трения, зависящий от свойств контактирующих материалов и заданный в условиях задачи.

3.Определяем реакции неподвижных опор в случае предельного состояния равновесия конструкции.

Рис. 12.0	Рис. 12.1
Рис. 12.2	Рис. 12.3
Рис. 12.4	Рис. 12.5
Рис. 12.6	Рис. 12.7
Рис. 12.8	Рис. 12.9

Таблица 4

Исходные данные к расчету конструкции

Пример:

Дано: схема конструкции (рис.13а); Р = 0,3кН, Q=1,2кН, а = 0,5м, b = 0,2м, l = 0,04м, α=60°, β= 45°, f=0,25. Определить, при каких значениях силы возможно равновесие конструк­ции. Определить также реакции опор О и А, соответствующие предельному со­стоянию равновесия.

Решение:

Рассматриваемая конструкция состоит из трех тел: тележки, барабана и стержня АЕ с тормозной колодкой.

Рассмотрим равновесие, предполагая, что оно имеет место, для каждого из тел в отдельности.

Сначала запишем уравнения равновесия тележки. На тележку действуют: сила тяжести , реакция нити инормальная реакция наклонной плоскости (рис. 13б). Выбрав координатные оси, как показано на рисунке 13б, запишем следующие уравнения равновесия указанной системы сил:

Далее запишем уравнения равновесия барабана (рис. 13в). На барабан дей­ствуют: сила тяжести , реакция нити , реакция шарнирно-неподвижной опоры О, представленная двумя взаимно перпендикулярными составляющими , давление тормозной колодки и сила трения.

а)	б)
в)	г)
Рис. 13 Пример расчета конструкции с учетом сил трения а) – исходная конструкция; б) - расчетная схема тележки; в) – расчетная схема барабана; г) – равновесие стержня с тормозной колодкой

Учитывая, что вели­чины сил и равны ( = '), уравнения равновесия плоской произвольной системы сил, действующей на барабан представим в виде:

Затем рассмотрим равновесие стержня АЕ с тормозной колодкой (рис.13г). На стержень АЕ с тормозной колодкой действует следующая плоская произ­вольная система сил: сила , нормальная реакция ' барабана, сила трения и реакция шарнирно-неподвижной опоры А, представляемая составляющи­ми _А, _A. Согласно аксиоме о равенстве действия и противодействия величи­ны сил и ', а также и равны

= ', (21)

Уравнения равновесия указанной системы сил с учетом соотношений (16) будут иметь вид:

И, наконец, запишем условия равновесия конструкции при наличии тре­ния:

(25)

Система полученных линейных алгебраических уравнений (16) - (20), (22) - (24) с учетом неравенства (25) позволяет полностью решить поставленную зада­чу.

Прежде всего необходимо найти, при каких значениях силы F конструкция будет находиться в равновесии (то есть будет удовлетво-ряться неравенство (25)). С этой целью найдем на основании уравнений (16), (20) и (24) величины сил и , входящих в неравенство (25):

(26)

. (27)

В результате подстановки (26) и (27) в (25) получим следующее неравенство:

(28)

На основании (28) можно найти значения величины силы F, при которых рассматриваемая конструкция будет находиться в состоянии равновесия:

(29)

При заданных параметрах, входящих в правую часть (29), значения вели­чины силы F, при которых конструкция будет находиться в равнове-сии, опре­делится неравенством:

F≥1,43кH (30)

В случае предельного состояния равновесия конструкции сила F будет иметь минимальное значение

F_min=1,43кH. (31)

Учитывая (31) и данные задачи, на основании (16), (18), (19), (22), (23), (26) и (27) найдем реакции неподвижных опор О и А в случае предельного состояния равновесия конструкции:

Х₀ = -1,86кН, Y₀ = 2,12 кН, Х_А = -0,17 кН, Y_A = -1,22 кН.

Следует заметить, что уравнение равновесия (17) оказалось не востребованным, так как по условию задачи не требовалось определить нормальную реакцию N наклонной плоскости.

Задача С4: Равновесие вала

Горизонтальный вал весом G может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В (рис. 14.0-14.9, табл. 5). К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F, пропорциональная N. На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Т₁ и Т₂. Груз Q висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала (в кН). Учесть веса шкивов Р₁ Р₂, Р₃. Все нагрузки действуют в вертикальной плос­кости. При окончательных расчетах принять R₁=30см, R₂=10см, R₃=20см; а=20см; b=25см; с=20см; d=30см.

План решения:

1.Действие каждой из опор заменяем двумя взаимно перпендику­лярными реакциями, лежащими в плоскости, перпендикулярной валу.

2.Для определения силы давления составляем уравнение момен­тов относительно оси вала. Момент силы натяжения ремня, нити и т.п. (наклонной или нет) вычисляем как произведение величины силы на соответствующий радиус со знаком, соответствующим направле­нию вращения вокруг вала. Уравнение содержит одну неизвестную, которую легко найти.

3.Определяем вертикальные реакции опор вала. Для этого со­ставляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия горизонтальных реакций шарниров. Решаем эти уравнения.

Рис. 14.0	Рис. 14.1
Рис. 14.2	Рис. 14.3
Рис. 14.4	Рис. 14.5
Рис. 14.6	Рис. 14.7
Рис. 14.8	Рис. 14.9

Таблица 5

Исходные данные к расчету вала.

4.Проверяем найденные реакции, составляя уравнение равновесия в проекции на ось z.

5.Определяем горизонтальные реакции опор вала. Для этого со­ставляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия вертикальных реакций шарниров.

6. Проверяем горизонтальные реакции, составляя уравнение рав­новесия в проекции на ось х.

Пример:

Горизонтальный вал весом G = 15 кН может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В (рис. 15а). К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F = 0,1N. На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Т₁ = 30 кН, Т₂ = 57 кН. Груз Q = 18 кН висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала. Учесть веса шкивов: Р₁ = 35 кН, Р₂ =10 кН, Р₃ =15 кН. Все нагрузки действуют в вертикальных плоскостях. Известны радиусы шкивов, R₁ =26 см, R₂ =10 см, R₃ =11 см и расстояния между характер­ными точками вала: а = 22 см, b = 25 см, с = 26 м, d = 26 м. Общая длина вала L = a+b+c+d; α=30°.

Решение:

1. Действие цилиндрических опор А и В заменим реакциями Z_А, Х_А и Z_B, Х_В (рис. 15б). Вес вала G приложим в центре. Вес груза изобразим вектором Q.

2.Для определения силы давления составляем уравнение моментов относительно оси вала. Знаки моментов сил определяем как в задачах плоской статики: момент силы, вращающей тело вокруг моментной точки против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке — отрица­тельным. Моменты сил, перпендикулярных плоскости zy (и поэтому не изображенных на рис. 15в), относительно любой ее точки равны нулю.

(32)

Уравнение содержит одну неизвестную F. Линии действия остальных сил пересекают ось у и их моменты относительно оси вала равны нулю. Из полученного уравнения находим:

. (33)

По условию N = F/0,1 = 27,69 кН.

3.Определяем вертикальные реакции шарнирных опор вала. Для этого

а)	б)
в)	г)
Рис. 15 Пример расчета вала а) - исходный вал; б) – расчетная схема; в) – проекция всех сил на ось zy; г) – горизонтальная проекция силовой схемы

составляем два уравнения моментов относительно оси х, проходящих через шарниры А и В. Рассматриваем для удобства проекцию всех сил на плоскость zy (рис. 15в). Таким обра­зом вычисление моментов относительно осей сводим к плоской задаче вычисления моментов относительно точек А и В.

Решая уравнения:

(34)

(35)

находим Z_A = -11,32 кН, Z_B = 75,57 кН.

4.Проверяем правильность нахождения вертикальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось z (рис. 15в):

(36)

5.Определяем горизонтальные реакции опор вала. Для этого со­ставляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия вертикальных реакций шарниров. Рассматриваем
горизонтальную проекцию силовой схемы (рис. 15г):

(37)

(38)

Решая уравнения (30) и (31), находим Х_А = 25.10 кН, Х_B = —124.79 кН.

6.Проверяем правильность нахождения горизонтальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось х вдоль линии действия горизонтальных реакции:

Результаты расчетов заносим в таблицу:

Рекомендуемая Литература

1. Курс теоретической механики: Учебник для ВУЗов./А.А. Яблонский, В.М. Никифорова 12-е изд. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. - 608 с.Кепе О.Э.

2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Сборник заданий/под общ. ред. А.А. Яблонского. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. - 384 с.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 2009. – 416с.

4. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике. – М.: Лань, 2008. – 448с.

5. Бутенин Н.В. Курс теоретической механики/Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р.Меркин – М.: Лань, 2008. – 729с.

6. Сборник коротких задач по теоретической механике: Учебное пособие для вузов/ О.Э.Кепе, О.П. Грапис, Я.А. Виба; под общ. ред. О.Э. Кепе. 2-е изд. – М.: Лань, 2008. – 368с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . 2

Основные понятия . . . . . . . . 4

Задача С1: определение реакций опор и усилий в стержнях плоской фермы . . . . . . . . . . . 9

Задача С2: определение реакций опор рамы . . . . 14

Задача С3: равновесие тел с учетом сил трения. . . . 19

Задача С4: равновесие вала . . . . . . . 25

Рекомендуемая литература . . . . . . . 31

Поиск по сайту: