Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Тема 4. Линейное n – мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг матрицы и системы векторов



 

Множество n-мерных векторов, в которое введены операции сложения и умножения на число, называется !n-мерным векторным пространством (R(n))

 

Упорядоченная система из n действительных чисел называется !n-мерным вектором

Коэффициенты при неизвестных всякого линейного уравнения с n неизвестными образуют !n-мерный вектор

Суммой векторов и называется вектор !

Произведением вектора на число k называется вектор !

Скалярным произведением двух векторов и называется действительное число, равное

!

Длиной вектора или его модулем называется действительное неотрицательное число, равное

!

 

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если существуют такие числа, , при которых выполняется соотношение !

 

Система векторов (k 2) называется линейно зависимой, если

!хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных

 

Система векторов (k 2) является линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю, при которых имеет место равенство

!

 

Если соотношение возможно лишь в случае, когда , то система векторов называется !линейно независимой

 

Если некоторая подсистема (r £ k) системы векторов линейно зависима, то вся система !линейно зависима

 

Всякая система векторов, содержащая два равных вектора, является !линейно зависимой

Если система векторов линейно независима, то всякая ее подсистема !линейно независима

Всякая система векторов, содержащая два пропорциональных вектора, является линейно зависимой

 

Если – линейно зависимая система векторов, а (r£n) - такая ее линейно независимая подсистема векторов, к которой нельзя присоединить ни одного вектора системы, не нарушив линейной независимости, то эта подсистема называется !максимальной линейно независимой

 

Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор является !линейно зависимой

 

Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему векторов, называется !рангом системы

 

Максимальное число линейно независимых векторов системы равно рангу матрицы , составленной !из компонент векторов этой системы

 

Рангом системы векторов называется число векторов, входящих в любую !максимальную линейно независимую подсистему

Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно !максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы

Любая совокупность n+1 векторов n–мерного векторного пространства !линейно зависима

Максимальное число линейно независимых строк матрицы !рангу этой матрицы

Базисом n–мерного векторного пространства называется любая совокупность !n линейно независимых векторов этого же пространства

Любой вектор n–мерного векторного пространства можно представить как !линейную комбинацию векторов базиса

 

Система называется системой

!единичных векторов n–мерного векторного пространства

 

называется !длиной вектора

 

Числа , определяющие вектор , называются !компонентами вектора

 

Любой вектор n–мерного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса !единственным образом

 

Рангом матрицы A называется число r такое, что у матрицы существует

!хотя бы один отличный от нуля минор r–го порядка и равны нулю все миноры более высокого порядка(³r+1)

 

Если r-ранг матрицы А, то отличный от нуля минор r–го порядка называется !базисным минором матрицы

 

Какое число линейно независимых векторов системы равен рангу матрицы А, составленной из компонент векторов этой системы? !равно n

 

Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы !рангу этой матрицы

 

Система векторов называется линейно независимой, если соотношение справедливо лишь в случае, когда

!

 

Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему векторов, называется !рангом системы

 

Указать совокупность векторов n – мерного векторного пространства, которая заведомо является линейно зависимой !совокупность n+1 векторов

 

Для линейной независимости системы из n n – мерных векторов необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из компонент векторов этой системы !был отличен от 0

 

Система из пяти 4 – х мерных векторов !линейно зависима

 

Если , то произведение равно !5

 

Система векторов , , !образует базис

 

Компоненты вектора в базисе , , где , , равны

!(3;-1)

Векторы и равны между собой, если

!

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.