Четырехмерные векторы, тензоры и скорости

Все физические величины, законы, формулируются в векторной или тензорной форме. Объяснением этому служит то, что векторная или тензорная форма указывает на тот факт, что величина не привязана к системе координат. Так как пространство 4-мерное, то необходимо пересмотреть все физические законы на 4-мерное представление. Введем понятие 4-мерного вектора:

– четырех-радиус-вектор.

Запишем преобразование Лоренца для 4-вектора.

=( ) – 4-вектор как совокупность 4-ех величин в некоторой системе отсчета, которые при переходе к другой системе отсчета преобразуются так же, как и компоненты 4-ех радиус-вектора.

Основное свойство вектора: инвариантность относительно системы координат сохраняется для 4-вектора. Но его проекция на оси является инвариантной величиной. Соотношения между векторами также инвариантны, так как все вектора преобразуются по одинаковой схеме. Вектор - это тензор первого ранга, скаляр - это тензор нулевого ранга (величина, неизменная при любых преобразованиях координат).

Скалярное произведение 2-ух 4-векторов инвариантно:

- запись Эйнштейна

- преобразование для радиус-вектора

4-ех тензор второго ранга ( ) - совокупность 16 компонент, образующихся как произведение компонент векторов;

Единичный 4-ех тензор: A

(1) - тензор второго ранга,

(2) - 4-ех тензор третьего ранга,

(3) - 4-ех тензор четвертого ранга.

Свертка: – 4-ех тензор третьего ранга

1. grad

скалярная функция 4-ой точки пространства

2. div

f - скалярная (инвариантная) величина

- 4-ех мерная дивергенция

3. rot

4. Оператор Лапласа

- скалярная функция

) = – оператор Даламбера

Все вышеописанные операции являются тензорными и, следовательно, инвариантными. Таким образом, результат этих операций будет для всех одинаковым.

Пример 4-ех мерной скорости:

т.к. скорость в 4-ех мерном пространстве определить нельзя, так как время не является тензорной величиной в этом случае;

, - собственное время

Выразим компоненты 4-ех скорости через 3-ех мерный вектор скорости:

,

; ; ; ) = ;

Свойства 4-ех вектора скорости.

Возьмем модуль:

, вектор 4-ех скорости меняется только за счет направления, а его величина остается постоянной.

Определим 4-ех ускорение: , так как длина вектора скорости не изменяется, то 4-ех ускорение всегда ортогонально 4-ех скорости → скалярное произведение скорости на ускорение равно 0.

/ : d

_______________________________________

Поиск по сайту: