Классическая теория электропроводности металлов Друде.
В теории Друде валентные электроны металла рассматривались как классический "электронный" газ (идеальный газ из электронов).
В рамках элементарной кинетической теории полагаем, что валентные электроны (электроны проводимости) металлов представляют собой одинаковые твердые сферы, двигаются они по прямым линиям до столкновения друг с другом, время контакта частиц пренебрежимо мало по сравнению с временем "свободного" движения.
Объемную концентрацию электронов проводимости можно оценить выражением:
(6.30)
где - объемная плотность металла (кг/м3), Z - валентность химического элемента, Na - число Авогадро, А - относительная атомная масса элемента.
Заряд электрона е =-1,6*10-19 Кл, масса электрона me = 0,91*10-30 кг. Величину "е" ниже будем считать положительной, а знак заряда электрона будем учитывать непосредственно в формулах.
Плотность электронного газа:
(6.31)
значительно больше плотности обычных газов при нормальных условиях.
В теории Друде пренебрегают сильным электрон-электронным и электрон-ионным взаимодействием, полагая, что внутри металлического тела отдельный электрон практически ведет себя как свободная частица. Это дает нам право считать электрон "нейтральной" частицей при расчете взаимодействия ее с остальными частицами, но способной переносить заряд при расчете параметров электрического тока.
рис. 6.1
Рис. 6.1.
Друде полагал, что электроны в своем движении сталкиваются с атомами (ионами) кристаллической структуры металла (столкновения электрон-электрон значительно менее вероятны). Картина последовательных соударений электрона с атомами кристаллической решетки показана на рис. 6.1.
Современная теория оценивает вероятность такого механизма не очень высоко: рассеяние электронов имеет и другие механизмы. Поэтому не следует наглядную картину рис.6.1 понимать в буквальном смысле.
Будем считать, что отношение
(6.32)
представляет собой вероятность соударения электрона с рассеивающим центром, где dt - промежуток времени, - время релаксации или время свободного пробега. Предполагается, что величина не зависит от пространственного положения электрона и не меняется от соударения к соударению. Предполагается также, что электроны находятся в состоянии теплового равновесия со своим окружением. Механизм соударения детализируется следующим образом: скорость электрона после соударения статистически не связана со скоростью электрона до соударения (электрон "забыл" свою предысторию), направление скорости после соударения - случайное, хаотическое, а ее величина соответствует той температуре, которая имеет место в окрестности точки соударения.
Теория Зоммерфельда.
Представляет собой дальнейшее развитие теории Друде, отличаясь от последней тем, что распределение свободных электронов по энергиям описывается распределением Ферми-Дирака:
, где - химический потенциал фермиона (частица с полуцелым значением спина (собственной энергии импульса частицы)), Е – полная энергия системы.
, а не распределением Больцмана. Как и теория Друде, теория Зоммерфельда пренебрегает взаимодействием электронов друг с другом, а их взаимодействие с кристаллической решёткой сводит лишь к соударениям, при которых импульс электрона меняется скачком. Теория Зоммерфельда позволила объяснить отсутствие заметного вклада электронного газа в теплоёмкость металла при комнатной темп-ре. В теории Зоммерфельда этот вклад равен: Cv=(p2/2).(kT/EF).nk, где EF - Ферми энергия (максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур), Т - абс. температуpa, п - концентрация свободных электронов. При комнатной темп-ре эта теплоёмкость ~ в 100 раз меньше значения 3 nk/2, даваемого теорией Друде (при низких температурах электронный вклад в Cv может оказаться сравнимым с решёточным, обычно это происходит при темп-ре в несколько кельвинов). Другой класс явлений, где теории Друде и Зоммерфельда приводят к различным результатам, - кинетические эффекты, обусловленные наличием разброса электронов по энергиям (электронная теплопроводность, термомагнитные явления, термоэлектрические явления). Теория Зоммерфельда даёт для этих эффектов величину, в (EF/kT)n (n=1, 2) раз меньшую, чем в теории Друде, что согласуется с экспериментом. Теория Зоммерфельда не могла объяснить эффекты, обусловленные зонной структурой энергетического спектра металлов, например, положит. знак постоянной Холла у многих проводников. Тем не менее во многих случаях теория Зоммерфельда в силу своей простоты оказывается удобной для численных оценок и качественного объяснения электронных свойств металлов.