Для любой точки внутри проводника напряженность результирующего поля равна сумме напряженности поля кулоновских сил и поля сторонних сил . Подставляя в (17.6), получим
Умножим скалярно обе части на вектор , численно равный элементу длины проводника и направленный по касательной к проводнику в ту же сторону, что и вектор плотности тока
Так как скалярное произведение совпадающих по направлению векторов и , равно произведению их модулей, то это равенство можно переписать в виде С учетом
Интегрируя по длине проводника от сечения 1 до некоторого сечения 2 и учитывая, что сила тока во всех сечениях проводника одинакова, получаем
(17.7)
Интеграл численно равен работе, совершаемой кулоновскими силами при перенесении единичного положительного заряда с точки 1 в точку 2. В электростатике было показано, что
Таким образом,
где и - значение потенциала в т.1 и т.2.
Интеграл, содержащий вектор напряженности поля, сторонних сил, представляет собой эдс , действующей на участке 1-2
(17.9)
Интеграл
(17.10)
равен сопротивлению участка цепи 1-2.
Подставляя (17.10), (17.9) и (17.8) в (17.7), окончательно получим
(17.11)
Последнее уравнение выражает собой закон Ома в интегральной форме для участка цепи, содержащего эдс и формулируется следующим образом: падение напряжения на участке цепи равно сумме падений электрического потенциала на этом участке и эдс всех источников электрической энергии, включённых на участке.
При замкнутой внешней цепи сумма падений электрических потенциалов и эдс источника равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении источника и во всей внешней цепи где или
Отсюда
(17.12)
Закон Ома в диф. форме:
Сечение проводника или элементов цепи, как правило, неоднородно, и сопротивляемость в разных участках цепи протеканию тока также различная. Тогда разбивают участки цепи на элементы (дифференцируют) и определяют закон Ома в каждом отдельном участке.
- закон Ома, тогда для каждого участка цепи сечением ∆S и длиной ∆l можно записать закон Ома как: .
Учитывая, что для участка цепи
и , получим
Это закон Ома в дифференциальной форме. Зная, что удельная электропроводность σ и удельное сопротивление ρ связаны, как:
Закон Джоуля - Ленца касается закона сохранения энергии; если считать, что система электрической цепи замкнутая, то работа по перемещению заряда в проводнике, если сам проводник не перемещается в пространстве, полностью преобразуется в тепловую энергию Q на участке (1-2).
Учитывая, что q=I· t получаем: Q=IU·t (1) (2)
(3)
Вид формулы для Q определяется условием задачи по определению выделившегося тепла. Формулы (1), (2), (3) есть закон Джоуля-Ленца в интегральной форме (определение полного тепла, выделившегося в цепи за все время протекания тока).
Тепловая мощность тока.
Для определения количества теплоты, выделившегося в единицу времени, вводят понятие тепловой мощности тока:
.
Единицей мощности тока считают 1Вт=1Дж/1с.
З-н Джоуля-Ленца в диф. форме:
Если электрическая цепь состоит из элементов различного сопротивления и геометрии, то цепь разбивают на отдельные участки и определяют закон Джоуля - Ленца для каждого участка. Последовательно расписывая
Из закона Ома в дифференциальной форме следует:
, т.к.
Количество тепла, выделяемое в единице объема проводника за единицу времени равно квадрату плотности тока, умноженному на ρ, или квадрату напряженности электрического поля, деленному на ρ. Это закон Джоуля- Ленца в дифференциальной форме: