Структурные средние величины

Особым видом средних величин являются структурные сред­ние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода М_о — значение случайной величины, встречающее­ся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ря­ду — вариант, имеющий наибольшую частоту.

В интервальных рядах распределения с равными интервала­ми мода вычисляется по формуле:

,

- нижняя граница модального интервала; - модальный интервал; ^— частоты в модальном, пре­дыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно). Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Медиана М_е — это вариант, который находится в середи­не вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части — со значениями признака меньше медиа­ны и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое на­ходится в середине упорядоченного ряда.

В интервальных рядах распределения медианное значение (по­скольку оно делит всю совокупность на две равные по численно­сти части) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его накоп­ленная сумма частот равна или превышает полусумму всех час­тот ряда. Значение медианы вычисляется по формуле:

(5.17)

где - нижняя граница медианного интервала; - медианный интервал; - половина от общего числа наблюдений; сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала; — число наблюдений в медианном интервале.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения сред­ней, совпадая с ней только в случае симметричного распределе­ния частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Билет 10

Вариация— это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному соче­таются в каждом отдельном случае.

Показатели вариации, характеризуют отклонения отдельных значений от общей средней.

К абсолютнымпоказателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

.

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклоне­ния признака.

Среднее линейное отклонение dпредставляет собой сред­нюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдель­ных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: ( ).

Для несгруппированных данных , (5.18)

где n – число членов ряда;

Для сгруппированных данных , (5.19)

где — сумма частот вариационного ряда.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляет­ся по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимо­сти от исходных данных):

§ простая дисперсия для несгруппированных данных

,

§ взвешенная дисперсия для вариационного ряда

.

Дисперсия позволяет оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака; использование дисперсии для построения показателей тесноты корреляционной связи при оценке результатов выборочных наблюдений.

Среднее квадратическое отклонение — это обобщающая ха­рактеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные ва­рианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квад­ратному из дисперсии:

§ для несгруппированных данных

,

Вариация— это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному соче­таются в каждом отдельном случае.

Показатели вариации, характеризуют отклонения отдельных значений от общей средней.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Характеризует однородность совокупности. Совокупность считается количест­венно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Относительный размах вариации.Отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней

Линейный коэффициент вариации характеризует долю усредненного значения абсолютного отклонения от средней величины.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она может быть вычислена как простая дисперсия или взве­шенная дисперсия по формуле.

общая дисперсия для несгруппированных данных

,

взвешенная дисперсия для вариационного ряда

.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематиче­скую вариацию результативного признака, обусловленную влия­нием признака-фактора, положенного в основание группиров­ки. Она равна:

,

где - численность единиц в группе.

Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случай­ную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием не­учтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, поло­женного в основание группировки.

Она равна:

;

На основании внутригрупповой дисперсии по каждой груп­пе, т.е. на основании можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий :

.

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью — неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Билет 13

Поиск по сайту: