Числа Фибоначчи в природе

Похиленко Л.Н., 1 курс, специальность «логистика»

Новикова В.В., 1 курс, специальность «логистика»

Научный руководитель: Остапенко А.В. , кандидат физико-математических наук, доцент

Задумывались ли вы когда-нибудь, как связаны между собой математика и вся окружающая нас природа? Оказывается, все закономерности явлений нашей природы, многообразие форм живых организмов и растений нашей планеты, удивляющие нас своей красотой и гармонией – все это можно объяснить с помощью математики. Одним из самых замечательных вариантов взаимосвязи математики и природы является последовательность чисел Фибоначчи.

То, что мы сейчас знаем под названием «числа Фибоначчи», было известно еще древнеиндийским математикам задолго до того, как их стали использовать в Европе. Интересная ситуация и с названием. Начнем с того, что сам Фибоначчи при жизни никогда не называл себя Фибоначчи. Это имя стали применять к Леонардо Пизанскому только спустя несколько веков после его смерти.

Леонардо Пизанский—сын торговца, который стал математиком, а впоследствии получил признание потомков в качестве первого крупного математика Европы периода Средних веков. Не в последнюю очередь благодаря числам Фибоначчи. Которые он в начале XIII века описал в своем труде «Liberabaci» («Книга абака», 1202 год).

Путешествуя вместе с отцом на Восток, Леонардо изучал математику у арабских учителей.Фибоначчи написал несколько научных трактатов по математике, включая уже упомянутую выше «Книгу абака». Кроме нее создал:

· «Practicageometriae» («Практика геометрии», 1220 год);

· «Flos» («Цветок», 1225 год – исследование, посвященное кубическим уравнениям);

· «Liberquadratorum» («Книга квадратов», 1225 год – задачи о неопределенных квадратных уравнениях).

О жизни Леонардо осталось крайне мало биографических сведений. Что же касается имени Фибоначчи, под которым он вошел в историю математики, то оно закрепилось за ним только в XIX веке.

Числами Фибоначчи называют элементы числовой последовательности. В ней каждое следующее число в ряду получается суммированием двух предыдущих чисел. Пример последовательности: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Можно начинать ряд чисел Фибоначчи и с отрицательных значений. При этом последовательность является двусторонней (т.е. охватывает отрицательные и положительные числа) и стремится к бесконечности в обоих направлениях. Пример такой последовательности: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Эта последовательность имеет одно очень интересное свойство: если мы разделим любое число последовательности на предыдущее, мы получим результат, который будет колеблется возле значения 1.61803398875... , каждый раз будет немножко больше или меньше. В математике это число называют золотым сечением, золотым средним, отношением вертящихся квадратов, или просто золотым и обозначают Ф=1.618.

Еще одну любопытную параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением позволяет провести так называемый «золотой прямоугольник»: его стороны соотносятся в пропорции 1,618 к 1. Построить его можно таким образом: взять два последовательных члена ряда Фибоначчи ,например, 8 и 13 и построить прямоугольник со сторонами 8 и 13. Теперь разбиваем большой треугольник на меньшие, но обязательно придерживаемся правила: длины сторон прямоугольников должны соответствовать числам Фибоначчи, т.е. длина стороны большего прямоугольника должна быть равной сумме сторон двух меньших прямоугольников. Если соединить плавной линией углы полученных прямоугольников, получим частный случай логарифмической спирали – спираль Фибоначчи. Она характеризуется тем, что не имеет границ и не изменяет формы.

Рис.1. Спираль Фибоначчи

Задача. Кролики не только ценный мех.

Рассмотрим задачу о кроликах, в решении которой и используются числа Фибоначчи.

Фибоначчи задал такие условия: существует пара новорожденных кроликов (самец и самка), они регулярно (начиная со второго месяца) производят потомство – всегда одну новую пару кроликов (самца и самку). Кролики помещены в замкнутое пространство. Также ни один кролик не умирает от какой-либо болезни. Нужно вычислить, сколько кроликов мы получим через год.

В начале 1 месяца у нас 1 пара кроликов. В конце месяца они спариваются.

Второй месяц – у нас уже 2 пары кроликов (у пара – родители + 1 пара – их потомство).Третий месяц. Первая пара рождает новую пару, вторая пара спаривается. Итого – 3 пары кроликов. Четвертый месяц. Первая пара рождает новую пару, вторая пара времени не теряет и тоже рождает новую пару, третья пара пока только спаривается. Итого – 5 пар кроликов.

Число кроликов в n-ый месяц = число пар кроликов из предыдущего месяца + число новорожденных пар (их столько же, сколько пар кроликов было за 2 месяца до настоящего момента). И все это описывается формулой:

Таким образом, получаем рекуррентную числовую последовательность. В которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих:

1. 1 + 1 = 2

2. 2 + 1 = 3

3. 3 + 2 = 5

4. 5 + 3 = 8

<…>

10. 89 + 55 = 144

11. 144 + 89 = 233

12. 233+ 144 = 377 <…>

Продолжать последовательность можно долго: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 <…>. Но поскольку мы задали конкретный срок – год, нас интересует результат, полученный на 12-ом «ходу». Т.е. 13-ый член последовательности: 377.

Ответ в задаче: 377 кроликов будет получено при соблюдении всех заявленных условий.

Числа Фибоначчи в живой природе. Нашу природу можно назвать королевством золотого числа, оно присущее везде.

Первый и очень яркий пример – это подсолнухи. Их семена расположены так, чтобы максимально использовать всю площадь соцветия, не теряя ни миллиметра. А расположены они в виде двух пересекающихся спиралей справа налево и наоборот. Пары этих спиралей встречаются разные, у меньших соцветий 13 и 21, 21 и 34, у больших 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар быть не может.

Нечто подобное происходит и с ячейками ананаса: у него 8 правосторонних спиралей, 13 левосторонних и 21 вертикальная. И снова последовательность Фибоначчи.

В сосновой шишке, если хорошо присмотреться, можно увидеть две спирали, закручены одна по часовой стрелкой, а другая против. Число этих спиралей 8 и 13.

Количество лепестков во многих соцветиях совпадает с числами из этой последовательности, например, ирис имеет 3 лепестка, у примулы их 5, у амброзии полыннолистной - 13, у астр бывает 55 или 89 лепестков.

Листья на деревьях и других растениях распределены в последовательности, основанной на золотом числе, таким способом, чтобы получать максимум света и не мешать друг другу.

У многих бабочек отношения размеров грудной и брюшной части тела очень близки к золотому числу.

Раковины моллюсков закручены по спирали, и если измерить ее завитки, то их отношение постоянно и равно 1.618.

И очень-очень много других примеров. Спиралеобразно паук плетет паутину. По спирали закручивается ураган. Стадо северных оленей по тревоге разбегается по спирали. По спирали закручиваются волны, которые разбиваются об берега океана. Молекулы ДНK живых организмов закручены двойной спиралью. Гете называл эту спираль "кривой жизни".

Мы надеемся, что смогли рассказать вам сегодня много интересного и полезного. Теперь вы понимаете, что нас окружают множество объектов связанных с числами Фибоначчи. Вы, например, теперь можете поискать спираль Фибоначчи в окружающей вас природе. Вдруг именно вам удастся разгадать «секрет жизни, Вселенной ».

Поиск по сайту: