Билет №3 Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной. Метод половинного деления

Пусть уравнение F(x)=0 имеет на [a;b] единственный корень, причем функция F(x) на этом отрезке непрерывна.

Разделим отрезок [a;b] и пополам точкой с=(a+b)/2. Если F(c) =/=0, то возможны 2 случая:

либо F(x) меняет знак на [a;c], либо на отрезке [c;b].

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак и продолжая процесс половинного деления дальше можно дойти до сколь угодно малого отрезка содержащего корень уравнения.

Метод половинного деления по-другому называют метод бисекции или дихотомии. Этот метод можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Если на каком то этапе процесса получен отрезок [a,b], содержащий корень, то приняв приближенно значение корня x = (a+b)/2 получим ошибку не превышающую ∆x=(b-a)/2 (2).

F(b)>0

F(c)

0 acbх

F(a)<0

Пусть нам дана точность ε=0.001. Процесс решения (половинного деления) продолжается до тех пор, пока не выполнится неравенство ∆х ≤ε (3)

∆х – половина отрезка АВ.

Билет №4 Алгоритм решения задачи методом половинного деления

+ -

- +

Билет №5 Программная реализация метода половинного деления

Program PI38;

Function f (z: real): real;

Begin

f:=sin (sgr(z));

End;

Var a,b,c,d,e: real;

Begin

Writeln (‘введитеотрезок [a; b]');

Readln (a,b);

Writeln (‘введитеэпсилоне’);

Readln (e);

Repeat

c:=(a+b)/2;

If F(a)*F(c)<0 then b:=c else a:=c;

d:=(b-a)/2;

Until d<=e;

Writeln (“Корень =”, с, “c точностью Δx = “, d);

Readln;

End.

Билет №6 Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной. Метод хорд

Методы Ньютона

Рассмотрим 2 метода Ньютона: метод касательных и метод хорд. Оба метода основаны на следующем приеме.

Пусть уравнение F(х)=0 имеет единственный корень на отрезке [a, b] (1)

Преобразуем его к равносильному уравнению х=х-j(х)*F(x) (2),

где j(х) – любая функция, определенная на отрезке [a, b] и не обращающаяся на нем в ноль.

Метод хорд (МХ)

x=х-j(х)*F(c)

Пусть φ(х)= (1)

тогда формула для метода хорд примет вид х=х- *F(x) (2)

x_n=x_n-1- *F(x_n-1) (3) n=1, 2…

Функция F(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) является дважды дифференцируемой на отрезке [a, b]

2) обе производные не меняют знак на этом отрезке, т.е. f(x) монотонна и не имеет характера выпуклости.

В качестве точкиС выбирается тот конец [a, b] , для которого выполняется условие F(c)*F”(c)>0 (4)

В качестве х₀ берется тот конец отрезка [a, b], который остался после выбора с.

F(x₀) F (a) < 0, F (b) > 0, F”< 0

a (c)

F(c) ξ x₁b(x₀)

F (a) > 0, F (b) < 0, F” > 0

b(x₀)

ξ x₂ x₁

a (c)

F (a) > 0, F (b) < 0, F” < 0

ξ

a(x₀) x₁ b(c)

F (a) < 0, F (b) >0, F” >0

a(x₀) ξ b(c)

Пусть уравнениех = х - * F(x) решается методом хорд, причем результат должен быть получен с точностью e. Критерием прекращения вычисления при достижении заданной точности является условие:

D х_n≤ e Dх_n= где m - min |F¢(x)| на [a, b]

Алгоритм решения уравнения методом хорд

1) выбор точки С F(c)*F”(c)>0

2) выбор точки х₀

3) х₁= х₀ -

Dx₁= Dx₁≤e? +: ответ х₁, Dх₁

-: 4

4) х₂=х₁- Dx₂= Dx₂≤e? +: ответ х₂, Dх₂ -: х₃, …

Поиск по сайту: