Билет №2 Численное решение нелинейных уравнений с однойпеременной. Графическое отделение корней

Экзамены по численным методам

Билет №1 Основные этапы процесса решения задачи с помощью ЭВМ

Названия 5 основных этапов:

1. Моделирование (постановка задачи и построение математической модели)

2. Алгоритмизация (выбор метода и разработка алгоритма)

3. Программирование (запись алгоритма на языке понятном ЭВМ)

4. Реализация (отладка и использование проги на ЭВМ)

5. Интерпретация (анализ полученных результатов)

Практические задачи изначально связаны не с идеальными, а с реальными объектами: производственные процессы и явления природы, физические закономерности, экономические отношения и т.д. По этой причине решение задачи обычно начинается с описания исходных данных и целей на языке строго определенных математических понятий. Точную формулировку условий и целей решения называют еще математической постановкой задачи. Выделяя наиболее существенные свойства реального объекта, исследователь описывает их с/п (с помощью) математических соотношений. Это этап решения связан с математическим моделированием. Построение математической модели является наиболее сложным и ответственным этапом решения. Математическая модель может иметь вид управления, системы уравнений или быть выраженной в форме других сложных математических структур или соотношений.

В след за построением мат. (математической) модели исследователь разрабатывает (подбирает) метод решения задачи и составляет алгоритмы. Этап поиска и разработки алгоритма решения задачи в рамках заданной мат. модели называется алгоритмизацией. На этом этапе могут исп-тся (использоваться) любые подходящие средства представления алгоритмов: блок схема, таблицы, словесная. Во многих случаях в след за построением алгоритма выполняют так называемый контрольный просчет – грубую прикидку ожидаемых результатов, которые исп-тся затем для анализа решения.

На этапе программирования задачи записываются на языке понятном ЭВМ. В простейших случаях может оказаться, что на этом этапе не составляется новая программа для ЭВМ, а исп-тся имеющаяся ПО.После отладки и тестирования проги следует этап реализации – исполнение проги на ЭВМ и получение результатов решения.

Этап интерпретации – завершающий этап решения задачи, на котором происходит анализ результатов. На этом этапе осмысливаются полученные результаты, они сопоставляются с результатами контрольного просчета, а также с данными полученными экспериментальным путем. При этом одни результаты могут оказаться приемлемыми, а другие противоречащими смыслу реальной задачи, такие решения нужно отбросить. Высшим критерием пригодности полученных результатов, в конечном счете, является практика.

Билет №2 Численное решение нелинейных уравнений с однойпеременной. Графическое отделение корней.

Пусть имеется урав-е (уравнение) вида (1)

Где – алгебраическая или трансцендентная функция.

Решить такое уравнение это означает, установить имеет ли оно корни, сколько корней, с требуемой точностью. Решение указанной задачи, в общем, случаем начинается с этапа отделения корней. Отделить корень – означает, установить количество корней, а также наиболее тесные промежутки каждый из которых содержит тока 1 корень.

Грубое отделение корней во многих случаях можно произвести графическим методом. При этом задачу часто удается упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему урав-м. f₁(x) = f₂(x) (2). В этом случае строятся графики ф-ций (функций) f₁(x) и f₂(x), а потом на оси Ox отмечаются по возможности наименьшие отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример 1: Отделим корни урав-я графическим методом: .

Заменим это урав-е равносильным ему, построим графики этих ф-ций.y

1 π

X

Ответ: единственный корень урав-я находится на отрезке [π /2; е]

Пример 2: задание аналогично ;

Y

π/2 π

X

Ответ: бесконечно много решений; [-1; 1]; [- π /2; -1]

Пример 3:

Y

X

Ответ: единственный корень урав-я [-2; -1]

При решение задачи об отделение корней бывают полезными, следующие положения:

1. Если непрерывная на отрезке [a; b] ф-цияF(x) принимает на его концах значения разных знаков (т.е. F(a)*F(b)<0), то урав-е (1) имеет на этом отрезке, хотя бы 1 корень;

2. Если ф-цияF(x) к тому же еще и монотонна на [a; b], то корень единственный

Поиск по сайту: