Множество рациональных чисел. Множество действительных чисел.
Множество (Q) рациональных чисел
Объединение множества целых и дробных чисел есть множество рациональных чисел.
Свойства множества рациональных чисел (Q)
1.Замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения, деления.
2. Упорядоченно: для любых рациональных чисел можно установить отношение порядка (a>b, a<b, a = b).
3. Плотно в себе: для любых двух рациональных чисел a и b (a < b) всегда найдётся такое рациональное число c, что a < c < b.
4. Обладает свойством Архимеда: для любого рационального числа a существует такое целое число n, что n £ a < n+1.
Множество действительных чисел
Объединение множества рациональных и иррациональных чисел есть множество действительных чисел.
Доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
Степень с натуральным показателем
Определение:
Степенью числа a с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. .
, обозначают . Число a называется основанием степени. .
Свойства степени с натуральным показателем (m, n ÎN):
1) ;
2) , m > n;
3) ;
4) ;
5) ;;
6) если a > 0, то ;
7) если a > 1, то ;
8) если 0 < a < 1, то .
1) .
2) Рассмотрим произведение . Согласно свойству 1): . По определению деления это означает, что .
3) = = = .
7. Степени с натуральным, целым и рациональным показателями. Корень n-ой степени. Арифметический корень
Степень с целым показателем
Степенью с целым показателем(–n), где nÎN действительного числа a, отличного от 0, называют число, обратное степени числа a с показателем n, т.е. .
a0 = 1, если a ¹ 0. Выражения , , где не определены.
Свойства степени с целым показателем(a, bÎR\{0}, s, tÎZ):
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) если a > 0, то ;
7) если a > 1, s > 0, то ; если a > 1, s < 0, то ;
8) если 0 < a < 1, s > 0, то ; если 0 < a < 1, s < 0, то .
Доказательство :
1) По определению – неотрицательное число, n-я степень которого равна ab, т.е =ab. Число неотрицательно, т.к. по определению и . Вычислим n-ю степень числа , используя свойства натуральной степени: = . Следовательно, , что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются свойства 2 – 5.
2) По определению: и ; , , значит, .
3) и ; и , значит, .
4) и ; и , значит, .
5) и ; , так как и , значит, .
6) Допустим противное: , тогда по свойству степеней с натуральным показателем , т.е , что противоречит условию , значит, предположение не верно.
Корень нечётной степени из отрицательного действительного числа находится следующим образом: . При a = 0 =0