Практическая работа № 2. Тема: Приближенные вычисления

Тема: Приближенные вычисления

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению приближенных вычислений, определению абсолютной и относительной погрешности.

Теоритическое обоснование:

Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр

I. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном, данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Пример. Найти сумму приближенных чисел 127,42; 67,3; 0,12 и 3,03.

Решение: 127,42 + 67,3 + 0,12 + 3,03 = 197,87 197,9

Пример. Найти разность чисел: 418,7 - 39,832 = 378,868 378,9

II. При умножении и делении приближенных чисел в произведении надо сохранить столько значащих цифр, сколько их есть в данном числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример. Умножить приближенные числа 3,4 и 12,32.

Решение: 3,4 х 12,32 = 41,888 42

Задача. Площадь прямоугольной грядки приближенно равна 7,6 кв. м, ширина -2,38 м. Чему равна ее длина?

Решение. Длина грядки равна частному от деления 7,6 на 2,38.

Действие деления выполняют так: 7,60 : 2,38 = 3,19 3,2(м)

Последнюю цифру частного 9 можно было и не писать, а, получив в частном две значащие цифры, заметив, что остаток больший половины делителя, округлить частное с избытком.

III. При возведении приближенных чисел в квадрат, и куб в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в основании.

Примеры.

2,3² = 5,29 ≈ 5,3;

0,8³ = 0,512 ≈ 0,5.

IV. В промежуточных результатах следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила.

V. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при действиях первой ступени) или больше значащих цифр (при действиях II и III ступеней), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну запасную цифру.

VI. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с k цифрами данные следует брать с таким числом цифр, которое дает согласно правилам I - IV k + 1 цифру в результате.

3. Применение правил. Применение вычислений способом подсчета цифр рассмотрим на примере.

Пример. Найти значение , если а ≈ 9,31, b ≈ 3,1, с ≈ 2,33.

Решение.

а - b = 9,31 - 3,1 = 6,21;

( а - b ) с = 6,21 · 2,33 ≈ 14,5;

а + b = 9,31 + 3,1 = 12,4;

х = 14,5 : 12,4 ≈ 1,2.

Ответ. х ≈ 1,2.

Примечание. Сформулированные выше правила подсчета цифр имеют вероятностный смысл: они наиболее вероятны, хотя существуют примеры, не удовлетворяющие этим правилам. Поэтому вычисления способом подсчета цифр - самый грубый способ оценки погрешности результатов действий. Однако он очень прост и удобен, а точность таких вычислений вполне достаточна для большинства технических расчетов. Поэтому этот способ широко распространен в вычислительной практике.

В более ответственных вычислениях пользуются способом границ или способом граничных погрешностей.

Приближенные вычисления по способу границ

Наилучшим в смысле строгости из известных способов приближенных вычислений является способ границ. Пользуясь этим способом, по известным нижним и верхним границам данных чисел, находят отдельно нижнюю и верхнюю границы результата.

Пусть, например, надо сложить два числа:

х ≈ 3,2 (±0,05) и y ≈ 7.9 (±0,05).

Имеем: 3,15< х < 3,25, 7,85< у < 7,95, откуда 11,00< х + у < 11,20.

Итак, х + у ≈ 11,1 (±0,1).

Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя - сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так:

НГ ( x + у ) = НГ х + HГ y ; ВГ ( х + у ) = ВГ х + ВГ y .

Аналогичные правила справедливы для умножения:

НГ ( ху ) = НГ х · НГ у ; ВГ ( х у) = ВГ х · ВГ y .

Для обратных действий - вычитания и деления - соответствующие правила имеют такой вид:

НГ ( х - у ) = НГ х - ВГ у ; ВГ ( х - у ) = ВГ х - НГ у.

Из определения НГ и ВГ вытекают также следующие правила:

1) округлять НГ можно только по недостатку, а ВГ - по избытку;

2) чем меньше разность ВГ х - НГ х, тем точнее определяется х ;

3) в качестве приближенного значения х рекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГ х и ВГ х или число, близкое к нему.

Применение способа границ при вычислениях рассмотрим на примере.

Пример. Найти значение

если а ≈ 9,21 (±0,01); b ≈ 3,05 (±0,02), с ≈ 2,33 (±0,01).

Решение. Определяем НГ и ВГ каждого из чисел а , b , c и, выполнив над ними соответствующие действия, находим НГ и ВГ числа х.

Запись удобно оформить в виде такой таблицы:

1,15< x < 1,19,

1,15 + 1,19 = 2,34; 1,19 – 1,15 = 0,04

2,34 : 2 = 1,17; 0,04 : 2 = 0,02

x ≈ 1,17 (±0,02).

Текст задания

1. 1) Площадь океанов равна:

Тихого........................ ..179 679 тыс. кв. км

Атлантического.............93 363 » » »

Индийского ..................74 917 » » »

Северного Ледовитого..13 100 » » »

Вычислить общую площадь этих океанов в миллионах квадратных километров, округлив данные в условии числа.

2) Округлить до тысяч следующие числа: 10 834 650; 4 354 160; 4 793 500; 6 381 480. Вычислить погрешность, допущенную при округлении.

3) Округлить до целых единиц следующие дробные числа: 228,7; 142,61; 374,4; 92,5; 93,5; 7²/₃; 4¹/₅. Вычислить погрешность, допущенную при округлении.

4) Округлить до десятых долей следующие дробные числа: 12,39; 87,15; 279,68; 156,44; 60,52; 3,25; 1,408. Вычислить погрешность, допущенную при округлении.

2.1) Вычислить приближённые частные с точностью до целой единицы:

15139 : 25; 78,66 : 0,13; 78,66 : 0,013.

2) Вычислить приближённые частные с точностью до 0,1:

14 : 3; 5,4 : 1,7; 15,4 : 4.

3) Вычислить приближённые частные с точностью до 0,01 :

417 : 35; 17,51 : 6; 2,25 : 0,07; 39,5 :1,3.

3. Сколько квадратных километров площади приходится на одного жителя каждой из указанных частей света, если:

в Азии на 43 883 тыс. кв. км площади приходится 1 535 000 тыс. человек,

в Африке на 30 284 тыс. кв. км площади приходится и 224 000 тыс. человек,

в Европе на 10 498 тыс. кв. км площади приходится 569 000 тыс. человек.

Вычисления произвести с точностью до 0,01 кв. км.

4. Древнегреческий учёный Архимед установил, что отношение длины окружности к её диаметру больше числа 3¹⁰/₇₁ и меньше 3¹/₇. Вычислить значения этих дробей с точностью до 0,01.

5. Выразить приближённо десятичной дробью число 5²/₇ с тремя верными цифрами. Вычислить абсолютную погрешность полученного приближённого значения.

6. Сравним время на стенных и ручных часах. Пусть стенные часы показывают 2 часа 14 мин. (пополудни). Можно ли считать цифру 4 верной?

Пусть ручные часы в тот же момент показали 2 часа 13 мин. 15 сек. Можно ли считать цифру 5 верной? При решении задачи предполагается, что те и другие часы правильны.

7. 1) Одна из старых русских мер длины—аршин (1 аршин ≈ 71,12 см) выражала приближённо длину шага взрослого человека. Если принять 1 аршин приближённо за 71 см, то какова получится абсолютная погрешность? (Значение 71,12 см при решении задачи примите за точное выражение аршина в метрических мерах.)

2) Одна из старых русских мер веса — пуд — приближённо равна 16,38 кг. Если принять, что 1 пуд ≈ 16,4 кг, то чему равна абсолютная погрешность? (Число 16,38 кг при решении задачи примите за точное выражение пуда в метрических мерах.)

8. Чтобы найти количество зёрен в 1 кг ржи, берут пять проб по 10 г каждую, и подсчитывают в каждой количество зёрен. Пусть при подсчетах получились числа: 308, 336 327, 343 и 316. Подсчитайте среднее количество зёрен в 10 г ржи. Установите верные цифры полученного среднего значения. Для проверки верных цифр числа зёрен в 10 г ржи вычислите разность между значениями каждой пробы и найденным средним. Найдите среднее арифметическое этих разностей и по цифре старшего разряда его проверьте правильность взятых верных цифр в среднем значении числа зёрен в 10 кг ржи. Чему считается равной в данном случае абсолютная погрешность результата? Сколько зёрен ржи содержится в 1 кг ржи?

9. Ученик решил подсчитать число шагов, которое он делает на пути из дома в школу. Один раз он насчитал 950 шагов, другой 938 и в третий—965 шагов. Найдите среднее арифметическое этих чисел. Вычислите разность между каждым значением слагаемых и средним. Найдите среднее арифметическое вычисленных разностей. Укажите верные цифры приближённого значения числа шагов.

Поиск по сайту: