Ряд Фурье для непериодических функций

Ранее было показано, что в ряд Фурье разлагаются только периодические функции с периодом или , т. к. функции и периодические.

Если функция не является периодической, то, чтобы разложить ее в ряд Фурье, строят некоторую периодическую функцию , которая в области определения функции совпадает с функцией . В этом случае говорят, что функцию периодически продолжают на всю числовую ось.

Возможны следующие случаи:

1. Если функция задана на , то строят функцию с периодом . Она на отрезке совпадает с функцией , а на остальной части числовой оси является ее периодическим продолжением.

2. Если функция задана на , то строят с периодом , которая на отрезке совпадает с функцией и т.д. Коэффициенты Фурье будут находиться по известным формулам 1, только пределами интегрирования являются и .

3. Если функция задана на отрезке , то для разложения в ряд Фурье достаточно ее доопределить на отрезке произвольным способом. Затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на отрезке . Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках отрезка находились из условия или . В первом случае функция на отрезке будет четной, а во втором – нечетной. При этом коэффициенты разложения такой функции ( в первом случае, – во втором) можно определить по вышеперечисленным формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.

Элементы гармонического анализа

Разложение периодической функции в ряд Фурье называется гармоническим анализом.

Рассмотрим слагаемые ряда Фурье.

Значение равно среднему значению функции на всей оси.

Первое непостоянное слагаемое называется основной гармонической, оно имеет период .

Остальные слагаемые называются верхними гармониками, их наименьшие периоды равны

Если независимая переменная рассматривается как время, то ряд Фурье описывает произвольное периодическое колебание в виде суммы гармонических колебаний с кратными частотами.

Например, в акустике: основное слагаемое определяет высоту звука, т. е. основной тон; остальные слагаемые описывают обертоны, от которых зависит тембр звука.

Ряды Фурье используются в решении задач математической физики, а также их применяют при изучении различных зависимостей в электрических цепях с несинусоидальными токами.

Поиск по сайту: