Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Ряд Фурье для непериодических функций

Ранее было показано, что в ряд Фурье разлагаются только периодические функции с периодом или , т. к. функции и периодические.

Если функция не является периодической, то, чтобы разложить ее в ряд Фурье, строят некоторую периодическую функцию , которая в области определения функции совпадает с функцией . В этом случае говорят, что функцию периодически продолжают на всю числовую ось.

Возможны следующие случаи:

1. Если функция задана на , то строят функцию с периодом . Она на отрезке совпадает с функцией , а на остальной части числовой оси является ее периодическим продолжением.

2. Если функция задана на , то строят с периодом , которая на отрезке совпадает с функцией и т.д. Коэффициенты Фурье будут находиться по известным формулам 1, только пределами интегрирования являются и .

3. Если функция задана на отрезке , то для разложения в ряд Фурье достаточно ее доопределить на отрезке произвольным способом. Затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на отрезке . Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках отрезка находились из условия или . В первом случае функция на отрезке будет четной, а во втором – нечетной. При этом коэффициенты разложения такой функции ( в первом случае, – во втором) можно определить по вышеперечисленным формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.

 

Элементы гармонического анализа

Разложение периодической функции в ряд Фурье называется гармоническим анализом.

Рассмотрим слагаемые ряда Фурье.

Значение равно среднему значению функции на всей оси.

Первое непостоянное слагаемое называется основной гармонической, оно имеет период .

Остальные слагаемые называются верхними гармониками, их наименьшие периоды равны

Если независимая переменная рассматривается как время, то ряд Фурье описывает произвольное периодическое колебание в виде суммы гармонических колебаний с кратными частотами.

Например, в акустике: основное слагаемое определяет высоту звука, т. е. основной тон; остальные слагаемые описывают обертоны, от которых зависит тембр звука.

Ряды Фурье используются в решении задач математической физики, а также их применяют при изучении различных зависимостей в электрических цепях с несинусоидальными токами.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.