Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Свойства периодической функции

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода есть периодическая функция периода .

2) Если функция период , то функция имеет период .

3) Если периодическая функция периода , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины (при этом интеграл существует), т. е. при любых и справедливо равенство .

Ряды Фурье (Фурье – французский математик и физик 1768–1830) используются для описания периодических процессов, решения дифференциальных уравнений, приближения периодических и непериодических функций. В этих случаях функцию, описывающую периодический процесс, представляют как сумму простых периодических функций , амплитуда, фаза колебаний, начальная фаза.

Полагая , , можно записать

.

Сложные процессы описываются функциями вида

.

Выражение вида , где – основная тригонометрическая система функций, называется тригонометрическим рядом Фурье.

Основная тригонометрическая система функций:

, определена на отрезке , где – период функции. Числа называются коэффициентами Фурьефункции .

10.Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

Определение. Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

Теорема Дирихле. Если на отрезке функция имеет конечное число точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число точек экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье сходится, т. е. имеет сумму , во всех точках этого отрезка. При этом:

1) в точках непрерывности функции он сходится к самой функции ;

2) в каждой точке разрыва функции сходится к полусумме односторонних пределов функции справа и слева ;

3) в обеих граничных точках отрезка сходится при стремлении величины к этим точкам изнутри отрезка к полусумме односторонних пределов функции .

 

11. Ряд Фурье для периодической функции с периодом

Тригонометрический ряд

(1)

называется тригонометрическим рядом Фурье для периодической функции , если коэффициенты его определяются по формулам:

,

, где ,

, где .

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом Т = 2l, которая на отрезке задана равенством .

Решение. Найдем коэффициенты ряда Фурье:

.

.

, т. к. , то разложение примет вид , следовательно, искомое разложение имеет вид:

.

12. Ряд Фурье для периодической функции с периодом

Ряд Фурье для такой функции получается из ряда 1 при значении .

, где

,

,

 

Пример.Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке уравнением .

Решение.Графиком этой функции является отрезок, соединяющий точки и . На рисунке показан график функции .

Эта функция является периодической с периодом .

Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим

.

Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат.

Таким образом, .

Далее находим коэффициенты :

.

Оба интеграла равны нулю, т. к. подынтегральная функция второго интеграла является нечетной как произведение четной и нечетной функций. Итак, , т. е. .

Определяем теперь коэффициенты :

.

Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла – четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом, .

Решим данный интеграл, интегрированием по частям:

, т. е.

.

Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид:

.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.