Второй признак сравнения (предельный признак)

Если и – ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов , то ряды одновременно сходятся либо расходятся.

Следствие. При применении 2-го признака сравнения удобно брать в качестве ряда, с которым сравнивается данный ряд, ряд вида .

Признак Даламбера

Пусть для ряда существует предел .

Тогда этот ряд сходится при значении L и расходится при значении L . При значении L=1 вопрос о сходимости ряда остается открытым, поэтому необходим другой признак.

Пример. Определить сходимость ряда

; ; =

Радикальный признак Коши

Если для ряда существует предел , то при значении ряд сходится, при значении – расходится.

Так же, как в признаке Даламбера, L = 1 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Пример. Определить сходимость ряда

.

Интегральный признак Коши

Если функция непрерывна, монотонно убывающая при значении и такая, что при значении , где – члены ряда , то данный ряд сходится или расходится, в зависимости от сходимости несобственного интеграла .Например, обобщённый гармонический ряд 1+ … сходится при α и расходится при α , потому что сходится при α и расходится при α

Знакочередующиеся ряды

Определение. Если два стоящих рядом члена ряда имеют разные знаки, то ряд называется знакочередующимся. Его вид: .

Вопрос о сходимости знакочередующегося ряда решается с помощью следующего признака.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:

1) , , т. е. члены ряда не возрастают (убывают) по абсолютной величине;

2) , то данный ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена ряда, т. е. .

Пример. Ряд 1- сходится, т. к.

1) 1…;

2)