Ковариационная матрица линейного преобразования

случайного вектора.

Дано: Y_m1 = C_mn∙X_n1 – линейное преобразование вектора X_n1; K_X={K_ij} – ковариационная матрица преобразуемого вектора, элементы которой K_ij определяются формулой (100).

Найти: Ковариационную матрицу K_Y – ?

Решение: Опираясь на матричное определение (102) ковариационной матрицы произвольного случайного вектора, можем написать:

K_Y= E{(Y_m1 – E(Y_m1)) ∙ (Y_m1 – E(Y_m1))^T}. (132)

Подставив в (132) вместо вектора Y_m1 его зависимость (131) от вектора X_n1 и опустив индексы размерностей векторов, получим такой результат:

K_Y = E((CX – E(CX)) ∙ (CX – E(CX))^T) =

= E(C(X – E(X)) ∙ (X – E(X))^TC^T) =

= C ∙ E((X – E(X)) ∙ (X – E(X))^T) ∙ C^T.

Поскольку E((X – E(X)) ∙ (X – E(X))^T) = K_X, окончательно записываем:

K_Y= C ∙ K_X ∙ C^T. # (133)

Формула (133) была опубликована А. Эйткиным в 1935 г. [9].

В качестве Упражнения 2.3 докажите, что формула (115) – это частный случай (133), когда m= 1.

Задача 2.15. Два смежных угла y₁ и y₂ вычислены как разности соседних некоррелированных и равноточно измеренных направлений x₁, x₂ и x₃, т.е. y₁ = x₂ – x₁ и y₂ = x₃ – x₂. Найти коэффициент корреляции этих углов.

Дано: Y₂₁^T = ; X₃₁^T = ; K_X = σ²I₃₃, т.к. измерения некоррелированные (K_ij= 0 ) и равноточные ( = σ²), где σ² – дисперсия направлений.

Найти: = ρ₁₂ – ?

Решение: Вектор углов Y₂₁ является линейным преобразованием вектора направлений X₃₁. Матрица преобразования C₂₃ находится по связям, описанным в тексте задачи:

C₂₃= .

Окончательно, преобразование принимает вид:

= ∙ .

Формула (133) позволяет найти ковариационную матрицу углов:

K_Y = σ² ∙ = σ² = .

На основании соотношения (99), с одной стороны,

K₁₂ = ρ₁₂ ∙ σ₁∙σ₂,

где = K₁₁ = = K₂₂ = σ², а с другой стороны:

K₁₂ = – σ².

Таким образом,

K₁₂ = ρ₁₂ ∙ σ₁ ∙ σ₂ = ρ₁₂ ∙ 2 σ² = – σ².

Отсюда легко определяется искомый коэффициент корреляции смежных углов:

ρ₁₂ = – σ²/ 2 σ² = – 0,5. #

2.3.5.7 Ковариационная матрица преобразования случайного вектора с помощью дифференцируемой вектор-функции.

Преобразование случайного вектора X_n1, характеризующегося ковариационной матрицей K_X, в новый случайный вектор Y_m1 с помощью дифференцируемой вектор-функции F_m1 будет иметь свою ковариационную матрицу K_Y. Найдем её.

Дано: Y_m1 = F_m1(X_n1) – преобразование вектора X_n1 с помощью дифференцируемой вектор-функции F_m1; K_X – ковариационная матрица случайных аргументов.

Найти: K_Y – ?

Решение: По определению (102) вновь имеем

K_Y= E{(Y_m1 – E(Y_m1)) ∙ (Y_m1 – E(Y_m1))^T}. (134)

Разложив вектор-функцию Y_m1 = F_m1(X_n1) в окрестности точки E(X_n1) в ряд Тейлора и ограничившись линейными членами (помня, что X_n1=E(X_n1)+ _n1), получим:

Y_m1 = F_m1(E(X_n1) + _n1) ≈ F_m1(E(X_n1)) + {∂F/∂X}_mn∙ _n1. (135)

Здесь, согласно [10], {∂F/∂X}_mn= f_mn– дифференциальный оператор, представляющий собой матрицу частных производных, в каждой из m строк которой стоят n частных производных по каждому из n аргументов:

f_mn = .

Найдем теперь МО этой функции:

E(Y_m1) ≈ E(F_mn(E(X_n1)) + f_mn∙ _n1) = F_mn(E(X_n1)) + f_mn∙E( _n1)) →

E(Y_m1) ≈ F(E(X_n1)), (136)

т.к. E( _n1) = 0_n1, как вектор центральных моментов первого порядка.

Вычитая из (135) выражение (136), находим центрированный вектор

_n1 = Y_m1 – E(Y_m1) f_mn∙ _n1 (137)

и, используя определение (102), находим интересующую нас ковариационную матрицу K_Y произвольного преобразования случайного вектораX_n1:

K_Y=E( _n1∙ _1n^T} ≈ E(f_{mn n1}∙ f_nm^T) = f_mn∙E( _n1 )∙f_nm^T.→

K_Y ≈ f_mn∙K_X∙f_nm^T # (138)

Это и есть искомая приближенная связь между ковариационной матрицей K_X случайного вектора X_n1 и ковариационной матрицей K_Y его произвольного преобразования Y_m1 = F_m1(X_n1).

Доказать в качестве Упражнения 2.4, что формула (122) является частным случаем соотношения (138), когда m= 1.

Задача 2.16. Приращения прямоугольных координат геодезического пункта Δx и Δy вычислены по независимым аргументам: расстоянию s и дирекционному углу a. Полагая известными стандарты аргументов σ_s и σ_α, найти ковариационную матрицу приращений координат K_∆ и установить, при каких относительных значениях стандартов аргументов s и aэти приращения будут не коррелированы.

Дано: Δx = s ∙ cosa; Δy = s ∙ sina; σ_s; σ_α.

Найти: а) K_∆ – ?;

б) соотношение между σ_s и σ_α, при котором K_xy= 0.

Решение: Запишем, прежде всего, нелинейное преобразование расстояния s и дирекционного угла a в приращения координат Δx и Δy в матричном виде:

= .

Составим матрицу частных производных f₂₂приращений координат Δx и Δyпо расстоянию s и дирекционному углу a:

f₂₂= = .

Ковариационная матрица некоррелированных аргументов, как это следует из условий задачи, должна быть диагональной:

K_s,a= .

Теперь мы можем найти ковариационную матрицу K_∆ приращений координат, выполнив преобразования по формуле (138):

K_∆ = = ∙ ∙ =

= .

Это – ответ на первый вопрос задачи. Что же касается ответа на второй вопрос, то для его получения необходимо приравнять нулю элемент K₁₂ только что полученной матрицы:

K₁₂ = 0,5 ∙ sin2α – ∙ Δx Δy = 0,

а затем, заменить в нем приращения координат их выражениями через расстояние s и дирекционный угол a:

0,5 ∙ sin2α = 0,5 ∙ s² ∙ sin2α.

Отсюда мы сразу находим искомое соотношение между стандартами линииσ_s и и дирекционного углаσ_α, при котором приращения абсциссы Δx и ординаты Δy не будут коррелированы:

σ_s/ s= σ_α,

т.е. относительный стандарт линии должен равняться стандарту дирекционного угла, выраженному в радианной мере.

Отметим, что при этих условиях и сами стандарты приращений = и = упростятся и будут равными друг другу и стандарту линии s_s.

Убедитесь в этом в качестве Упражнения 2.5.

Поиск по сайту: