связь между ее дисперсией σZ2 и элементами ковариационной матрицы KX её случайных аргументов X1nT может быть установлена лишь приближенно. Однако, при малых по модулю центрированных значениях случайных аргументов (в геодезии это величины, модуль которых порядка X ∙(10-3 - 10-4) и меньше) степень такого приближения вполне удовлетворительна.
Дано: Z = f(Xn1) = f(X1, X2, …,Xn) – дифференцируемая функция случайного вектора Xn1; KX= {Kij} – ковариационная матрица этого вектора, элементы которой Kij определяются формулой (100).
Найти: D(Z) = – ?
Решение: Представим в формуле (118) каждую случайную величину Xi в виде суммы её математического ожидания и соответствующего центрированного значения :
Z = f(E(X1) + ,… , E(Xn) + ).
Разложим дифференцируемую функцию f в ряд Тейлора в окрестности точки E(X1nT), ограничиваясь только линейными членами:
Отсюда, переходя к математическому ожиданию функции Z, получаем:
E(Z) ≈ f(E(X1), … , E(Xn)), (120)
так как E( ) =(μ1)iº 0.
Центрированное значение Ż величины Z будет линейной функцией центрированных значений её аргументов :
Ż= Z – E(Z) ≈ (∂f/∂x1)∙ +…+(∂f/∂xn)∙ . (121)
Численные значения частных производных (∂f/∂xi) находят в окрестности точки разложения E(X1nT), где и вычисляется искомая дисперсия.
Окончательно, применяя к функции (121) формулу (115) и учитывая, что по третьему свойству дисперсии (60)
= ,
имеем:
≈ * +2 . # (122)
Полученная формула упрощается для попарно некоррелированных аргументов:
≈ ∙ . (123)
2.3.5.5 Определение дисперсий некоррелированных аргументов по дисперсии функции этих аргументов.
Сформулированная в заголовке данного параграфа задача имеет множество решений, так как в одном уравнении (123) мы имеем nнеизвестных дисперсий σi2. Для выбора единственного решения требуются дополнительные ограничения, удовлетворяющие нас по каким-либо мотивам. Во-первых, очевидно, что все решения должны быть положительными, т.е. они не должны противоречить определению дисперсии. Во-вторых, ограничения можно сформулировать, опираясь на здравый смысл. Рассмотрим наиболее простые и практически обоснованные варианты ограничений: «принцип равных дисперсий», «принцип равных влияний» и «принцип имеющихся возможностей».
Принцип равных дисперсий. Данный принцип используется в ситуации, когда аргументы Xi являются физически однородными величинами и для их измерений предполагается использование однотипной технологии, характеризующейся постоянной дисперсией:
si2 = sj2 = s2. (124)
С учетом последнего ограничения, формула (123) упрощается:
sZ2 ≈ s2.
Откуда, окончательно, получаем выражение для искомой постоянной дисперсии аргументов:
s2 ≈ / . (125)
Аналогично решается подобная задача для случая линейной функции (112):
s2= / .
Принцип равных влияний. Этот принцип используется в случае физически неоднородных аргументов и довольно условен. Под «влиянием» отдельного аргумента понимается произведение квадрата его частной производной на дисперсию этого аргумента, а сам принцип равных влияний заключается в приравнивании таких произведений друг другу:
(∂f/∂xi)2si2 = (∂f/∂xj)2sj2 (126)
Данное условие приводит к тому, что в формуле (123) оператор суммы å заменяется множителем, равным числу аргументов «n» :
. (127)
Из формулы (127) получаем n значений искомых дисперсий:
. (128)
Для линейной функции (112) формула (128) принимает вид:
.
Принцип имеющихся возможностей. Этот принцип предполагает, что имеется возможность нахождения значений части случайных аргументов Xj с дисперсиями , определяемая, например, парком измерительных приборов. Не теряя общности, мы можем положить, что это – «k» первых аргументов. Дисперсии остальных (n – k) аргументов Xi необходимо найти. Сказанное позволяет разбить сумму (123) на две составляющие:
= + = + . (129)
Имея возможность вычислить первую сумму
= ,
находим вторую:
= – . (130)
Далее мы можем столкнуться с двумя ситуациями:
а) 0 и б) > 0.
В первом случае решения не существует, так как имеющиеся возможности определения величин Xj приводят к превышению заданного предельного значения дисперсии функции . Выхода здесь два: либо изменить проект определения величины Z, моделируемый функцией (118), либо искать новые возможности (приборы, технологии), характеризующиеся меньшими дисперсиями .
Во втором случае решение находят, используя уже описанный выше принцип равных дисперсий (125) или принцип равных влияний (128).