Угловая скорость и угловое ускорение. Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси. Тогда от­дельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры ко­торых лежат на оси вращения. Пусть не­которая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени Dt зададим углом Dj. Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Мо­дуль вектора djравен углу поворота, а его направление совпадает с направле­нием поступательного движения острия винта, головка которого вращается в на­правлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого, винта(рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторамиили акси­альными векторами.Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они мо­гут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростьюназывается вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор «в направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор dj (рис. 7). Размерность угловой скорости dimw=T^-1, a . ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как вектор­ное произведение:

При этом модуль векторного произведе­ния, по определению, равен

, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от w к R.

Если w=const, то вращение равномер­ное и его можно характеризовать перио­дом вращенияТ — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt=T соответствует Dj=2p, то w= 2p/Т, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называет­ся частотой вращения:

Угловым ускорениемназывается век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой ско­рости. При ускоренном движении вектор

e сонаправлен вектору w (рис.8), при замедленном.— противонаправлен ему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейны­ми (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная ско­рость v, тангенциальное ускорение а_t, нор­мальное ускорение а_n) и угловыми величи­нами (угол поворота j, угловая скорость (о, угловое ускорение e) выражается сле­дующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e=const)

где w₀ — начальная угловая скорость.

Поиск по сайту: