Классификация изолированных особых точек

Определение 8.Точка z₀ называется правильной (регулярной) точкой функции f(z), если во всякой окрестности этой точки функция аналитическая.

Определение 9.Точка z₀ называется особой точкой функции f(z), если ни в какой окрестности этой точки функция не является аналитической.

Примерами особых точек являются точки, в которых функция обращается в бесконечность, либо производной не существует или производная равна бесконечности. Будем рассматривать однолистные функции. У таких функций особыми точками являются точки, в которых f(z) обращается в бесконечность, где она неопределенна или не дифференцируема.

Определение 10.Изолированной особой точкой однозначного характера называют точку z₀ ,в проколотой окрестности которой f(z) является аналитической.

Это означает, что в области 0<|z-z₀|< функция аналитическая, но не является аналитической внутри круга |z-z₀|<r, где r как угодно мало.

Пример 6.Рассмотрим функцию f(z)= Точка z=0 является особой.

При sin обращается в ноль, т.е. все точки z_k= являются особыми и изолированным, потому что мы можем выделить окрестности этих точек, в которых функции f(z) является аналитической.

Точка z₀=0 тоже является особой, но не является изолированной, т.к. является сгущением особых точек z_k= и в любой её окрестности имеются другие особые точки.

Проколотая окрестность 0<|z-z₀|<ε представляет собой кольцо с внутренним радиусом r=0, поэтому в этом кольце f(z) может быть представлено рядом Лорана (9).

Определение 11.Изолированная особая точка однозначного характера z₀ функции f(z) называется:

а) устранимой особой точкой, если разложение f(z) проколотой окрестности точки z₀ не содержит слагаемых с отрицательными степенями z, т.е.

²+…+ +… ;

б) полюсом m-го порядка, если разложение ряда Лорана содержит конечное число слагаемых с отрицательными степенями, т.е.

f(z)=

в) существенно особой точкой, если разложение в ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых с отрицательными степенями

f(z)=

Пример 8.Определить характер особой точки z=0 для следующих функций:

а) f(z)= .

Разложение в ряд Лорана имеет вид:

; f(z)=

Таким образом, z=0 есть полюс первого порядка.

б) f(z)= .

Разложение в ряд Лорана имеет вид:

e^z= ;

и, таким образом, z=0 - существенно особая точка.

Теорема 13. (необходимое и достаточное условие существования устранимой особой точки) Для того, чтобы точка z₀ была устранимой точкой функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы функция f(z) была аналитической и ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки z₀.

□ Необходимость. Пусть z₀-устранимая особая точка, тогда в некоторой проколотой окрестности 0<|z-z₀|<R функция будет аналитической и ее можно разложить в ряд Лорана, причем он не будет содержать отрицательных степеней z:

²+…+ +…

Тогда

т.е. предел в точке z₀ существует и следовательно f(z) ограничена в этой проколотой окрестности.

Достаточность. Пусть функция f(z) аналитическая в проколотой окрестности и существует M,такое, что |f(z)|≤M при 0<|z-z₀|<R.

В этом кольце f(z) можно разложить в ряд Лорана, коэффициенты которого задаются равенством:

C_r: |z-z₀|=r 0<r<R.

Оценим коэффициенты ряда Лорана по модулю:

c_n|=| |≤

Коэффициенты ряда Лорана не зависят от r, поэтому, если вычислить

Т.о., из последнего следует, что для n<0 коэффициенты ряда Лорана тождественно равны нулю, т.е. ряд не имеет слагаемых с отрицательными степенями. Это по определению означает, что z₀ устранимая особая точка. ■

Замечание.Пусть z₀ устранимая особая точка и , тогда можно представить

f(z)=φ(z)(z-z₀)^m,

где φ(z₀)≠0, а z₀ является нулем m-го порядка функции f(z).

Теорема 14(необходимое и достаточное условие полюса). Для того, чтобы точка z₀ была полюсом функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы функция f(z) была аналитической в проколотой окрестности точки z₀ и при z→z₀ произвольным образом |f(z)|→∞.

□ Необходимость. Пусть z₀ полюс f(z) m-го порядка, тогда по определению имеет место разложение:

f(z)=

Приведем к общему знаменателю

=

В числителе стоит степенной ряд, который является некоторой функцией φ(z), причем φ(z₀)=с_-m

Переходя к пределу в левой и правой части

Достаточность. Пусть f(z) неограниченная функция при z→z₀, но является аналитической в проколотой окрестности точки z₀. Ограниченность означает, что , что для любой точки проколотой окрестности 0<|z-z₀|<R f(z)≠0. Рассмотрим вспомогательную обратную функцию g(z)= . Т.к. для f(z) выполняется условие, |f(z)|→∞, то g(z)→0 и для функции g(z) точка z₀ , согласно теоремы 13, является устранимой, а согласно замечанию к ней можно записать

g(z)= φ(z)(z-z₀)^m, φ(z₀)≠0.

Т.о. для функции f(z) будем иметь:

f(z)= ,

Функция аналитическая, поэтому из доказательства необходимости это означает, что z₀ является полюсом m-го порядка, т.к. ■

Теорема 15.(Сохоцкого-Вейерштрасса) Каково бы ни было ε>0 в любой окрестности существенно-особой точки z₀ функции f(z) найдется хотя бы одна точка z₁, в которой значение f(z) отличается от любого, наперед заданного числа A меньше, чем на ε

□ Предположим, что теорема неверна, а именно при заданном комплексном числе А и заданном ε>0 найдется что во всех точках из (z₀ значение f(z) отличается от заданного числа А больше чем на ε, т.е.

|f(z)-A|> ε при |z-z₀|< (13)

Рассмотрим вспомогательную функцию . В силу условия (13) функция f(z) определена и ограничена в O_δ(z₀ . Согласно теоремы 13, точка z₀ для функции является устранимой особой точкой, а сама функция в этой окрестности допускает представление

тогда согласно определению функции имеет место следующее представление для функции f(z):

f(z)= ; .

Из последнего, ограниченная в окрестности точки z₀, полученное представление f(z) означает, что z₀ является полюсом m-го порядка или правильной точкой при m=0, что противоречит условию теоремы. ■

Из утверждения теоремы следует, что при различных способах стремления к существовенно особой точке z₀ можно получить различные предельные значения.

Пример 9.Определить характер особой точки z₀=0 функции .

Пример 10. Найти особые точки и определить их характер .

Определение 12.Точка z=∞ называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует R>0, что в области |z|>R нет других особых точек кроме нее самой, при этом:

а) z=∞ - устранимая особая точка, если разложение f(z) в ряд Лорана в окрестности этой точки, не содержит слагаемых с положительными степенями z:

f(z)=

б) z=∞ - полюс m-го, если разложение в ряд Лорана содержит m слагаемых с положительными степенями (z-z₀).

в) z=∞ - существенно особая точка, если разложение в ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых с положительными степенями (z-z₀).

Пример 11.Определить характер особой точки z .

а) для функции f(z)=e^z= ,|z|>R, z=∞ существенно особая точка.

б) для функции f(z)= z=∞-устранимая особая точка.

в) для функции f(z)=z² z=∞ полюс второго порядка.

Вычеты.

Пусть функция f(z) аналитическая в некоторой проколотой окрестности точки z₀. Эта точка либо правильная, либо изолированная особая точка однозначного характера и в этой проколотой окрестности f(z) можно разложить в ряд Лорана:

f(z) =

Определение 13.Вычетом функции f(z) точки z₀ называется коэффициент с_-1 в разложении функции f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z₀ и обозначается:

с_-1=res f(z₀)).

Из формулы коэффициентов ряда Лорана получаем, что вычет будет равен:

с_-1=res f(z₀)= (14)

где любой замкнутый контур, целиком лежащий в области аналитичной функции f(z) и содержащий внутри себя только одну особую точку z₀. Из формулы (14) получаем:

(15)

Пример 12.Вычислить

Решение. Разложим подинтегральную функцию в ряд Лорана:

Откуда

.

Тогда

.

Из формулы (14) видно, что если z₀ правильная точка, то получится интеграл от аналитической функции, которая по теореме Коши равна нулю, т.о. вычет res f(z₀)≡0.

Устранимая точка по определению не содержит слагаемых с отрицательными степенями, поэтому вычет в устранимой точке так же всегда равен нулю.

Теорема16(вычисление вычета в полюсе). Пусть z₀ полюс m-го порядка функции f(z), причем z₀≠∞, тогда вычет в этой точке определяется формулой:

resf(z₀)= }. (16)

В простом полюсе

res f(z₀)= f(z)(z-z₀). (17)

□ Пусть z₀ простой полюс, тогда разложение в ряд Лорана в его окрестности имеет вид:

f(z)=

Умножив левую и правую части на (z-z₀) получим:

f(z)(z-z₀)=c_-1+c₀(z-z₀)+c₁(z-z₀)²+…+c_n(z-z₀)ⁿ⁺¹+…

переходя к пределу в левой и правой части z→z₀ получим (17). Пусть полюс m-го порядка, тогда разложение в ряд Лорана имеет вид:

f(z)=

f(z)(z-z₀)ⁿ=с_-m+…+с₁(z-z₀)^m-1+с₀(z-z₀)^m+…+с_n(z-z₀)^m+n+…

продифференцируем последнее равенство (m-1) раз по z и, переходя к пределу в левой и правой части при z→z₀, получим (16). ■

Следствия.1) Пусть f(z) в окрестности точки z₀ допускает представление

= | |<∞,

тогда z₀ –полюс m-го порядка и

res f(z₀)= .

2) Пусть f(z) в окрестности точки z₀ может быть представлена как отношение двух функций f(z)= , тогда z₀ простой полюс, причем вычет res f(z₀)=

□ Пусть f(z)= или f(z)(z-z₀)= = .

Перейдем к пределу в левой и правой части и получим

res f(z₀)= = .

Определение 14.Вычетом res f(z) относительно точки z=∞ называется коэффициент с_-1 в разложении f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки:

с_-1=resf(z₀)=

где -замкнутый контур, вне которой f(z) не имеет других особых точек кроме z=∞.

Теорема 17(основная теорема о вычетах). Пусть f(z) аналитическая в односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек однозначного характера z_1…z_n и С-контур, содержащий внутри себя все точки z_1…z_n и целиком лежащий в области D. Тогда справедлива формула:

□ Окружим точки z_1…z_n контурами не пересекающиеся между собой и с контуром С. По теореме Коши для многосвязанной области имеем:

Следствие.Если f(z) аналитическая на всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек однозначного характера, то сумма всех вычетов, включая и точку z=∞ равна нулю. Это следует из равенства (18). Если его разделить на , тогда слева получится

–resf(∞). ■

Пример 13.Вычислить интеграл.

Точки z₁=i, z₂=-i-простые полюсы. Точка z₃=-3 не лежит в круге формуле для вычисления вычета в простом полюсе, имеем

res f(i)=

res f(-i)= .

=2𝜋i(

Поиск по сайту: