Ускорение и его составляющие

Скорость

Для характеристики движения материаль­ной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответ­ствует радиус-вектор r₀ (рис. 3). В течение малого промежутка времени Dt точка прой­дет путь As и получит элементарное (бес­конечно малое) перемещение Dr.

Вектором средней скорости <v> назы­вается отношение приращения Dr радиуса-вектора точки к промежутку времени Dt:

Направление вектора средней скоро­сти совпадает с направлением Dr. При неограниченном уменьшении Dt средняя скорость стремится к предельному значе­нию, которое называется мгновенной ско­ростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущей­ся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касатель­ной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения Dt путь Ds все больше будет приближаться к |Dr|, поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скоро­сти равен первой производной пути по времени:

При неравномерном движениимодуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной (v) —средней ско­ростьюнеравномерного движения:

Если выражение ds = vdt(см. форму­лу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+Dt, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Dt:

В случае равномерного движениячисло­вое значение мгновенной скорости посто­янно; тогда выражение (2.3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t₁до t₂, дается интегралом

Ускорение и его составляющие

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величи­ной, характеризующей быстроту измене­ния скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Рассмотрим плоское движение,т. е. такое, при котором все участки тра­ектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки

А в момент времени t. За время Dtдвижу­щаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v₁=v + Dv. Перенесем вектор v₁ в точку А и найдем Dv (рис.4).

Средним ускорениемнеравномерного движения в интервале от t до t+Dt на­зывается векторная величина, равная от­ношению изменения скорости Dv к интер­валу времени Dt:

Мгновенным ускорением а(ускорени­ем) материальной точки в момент време­ни t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение а есть вектор­ная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Dv на две составля­ющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор

AD, по модулю равный v₁. Очевидно, что вектор CD, равный Dv_t, определяет изме­нение скорости по модулю за время Dt: Dv_t=v₁- v. Вторая же составляющая вектора Dv-Dv_n характеризует изменение скорости за время Dt по направлению.

Тангенциальная составляющая уско­рения

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускоре­ния. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому As можно счи­тать дугой окружности некоторого радиу­са r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует Dv_n/AB = v₁/r, но так как AB = vDt, то

В пределе при Dt®0 получим v₁®v.

Поскольку v1®v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равно­бедренный, то угол ADE между v и Dv_n стремится к прямому. Следовательно, при Dt®0 векторы Dv_n и v оказываются взаим­но перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к тра­ектории, то вектор Dv_n, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускоре­ния, равная

называется нормальной составляющей ус­коренияи направлена по нормали к тра­ектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорениетела есть геометри­ческая сумма тангенциальной и нормаль­ной составляющих (рис.5):

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту из­менения скорости по направлению (на­правлена к центру кривизны траекто­рии).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения дви­жение можно классифицировать следую­щим образом:

1) а_t=0, а_n = 0 — прямолинейное рав­номерное движение;

2) a_t=a=const, a_n=0 — прямолиней­ное равнопеременное движение. При та­ком виде движения

Если начальный момент времени t₁=0, а начальная скорость v₁=v₀, то, обозна­чив t₂ = t и v₂ = v, получим a = (v-v₀)/t, откуда

v =v₀+at.

Проинтегрировав эту формулу в пре­делах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, прой­денного точкой, в случае равнопеременно­го движения

3) а_t=f(t), а_n=0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) а_t=0, а_n=const. При а_t=0 ско­рость по модулю не изменяется, а изменя­ется по направлению. Из формулы а_n= v²/r следует, что радиус кривизны до­лжен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равно­мерным;

5) а_t=0, а_n¹0 — равномерное кри­волинейное движение;

6) a_t=const, a_n¹0—криволинейное равнопеременное движение;

7) a_t= f(t), a_n¹0 — криволинейное движение с переменным ускорением.

Поиск по сайту: