Теорема. Алгебраическая и геометрическ. модели действительных чисел изоморфны

То есть, во-первых, между множеством действительных чисел, представленных в десятичной системе, и множеством точек на прямой существует взаимно однозначное соответствие.

И во-вторых, существует взаимно однозначное соответствие между арифметическими операциями и некоторыми геометрическими операциями. То есть, арифметические операции над числами могут быть переведены на геометрический язык.

Установим эти 2 изоморфизма.

Сначала установим изоморфизм между множествами чисел и точек. Для этого нужно показать, как по десятичному представлению числа определить точку на прямой, и обратно, как по точке на прямой найти соответствующее ей десятичное представление

1.Пусть число А задано своим десятичным представлением. Тогда как построить на прямой число А?

А = a_na_n-1…a₁a₀, β₁ β_{2 …} β_k β₁ β_{2 …} β_k β₁ β_{2 …} β_{k ……….}

а) От начала координат (точка 0) отложим на прямой отрезок, длину которого мы примем за 1.

б) Откладываем от точки 0 столько единичных отрезков, какова целая часть А: a_na_n-1…a₁a₀.

в) Затем откладываем следующий единичный отрезок и делим его на 10 частей (с номерами 0,1,2,…9). Выбираем часть с номером β₁.

г) Ее также делим на 10 частей. Выбираем часть с номером β₂. И так далее.

д) Если десятичная запись конечная, то искомая точка – начало последнего найденного интервала, Если же этот процесс бесконечен, то по аксиоме Кантора, существует единственная внутренняя для всех этих интервалов точка.

Итак, десятичный адрес однозначно определяет точку на прямой.

2.Обратно, пусть на прямой выбран единичный отрезок и задана некоторая точка. Требуется найти ее десятичное представление.

а) Сначала считаем, сколько целых единичных отрезков уместится от начальной точки до заданной. Это количество будет целой частью искомого числа А.

б) Затем единичный отрезок делим на 10 частей и считаем, сколько целых таких частей уместится от края последнего единичного отрезка до заданной точки. Это будет первый знак после запятой.

в) Затем единичный отрезок делим на 100 частей и считаем, сколько целых таких частей уместится от края последнего найденного отрезка до заданной точки. Это будет второй знак после запятой. И так далее.

Мы получим единственный вариант записи числа А. Это и будет искомое десятичное представление.

Итак, мы установили изоморфизм между множеством действительных чисел, представленных в десятичной системе, и множеством точек на прямой.

*************************************************************************************************************

Теперь установим изоморфизм между арифметическими операциями и некоторыми геометрическими операциями. Покажем, как работать с числами, заданными в виде отрезков.

Реализуем геометрически операции +,-,*,/,√.

Сложение. Пусть заданы два отрезка. Как найти сумму их длин? (изобразить все шаги)

1) Начертим прямую и поставим на ней точку.

2) Сначала перенесем циркулем длину первого отрезка на прямую, к поставленной точке, затем перенесем циркулем длину второго отрезка к концу первого отрезка.

3) Отрезок–сумма найден. Эту длину можно с помощью циркуля перенести в любое место.

Вычитание. Пусть заданы два отрезка. Как найти разность их длин? Аналогично сложению. При этом могут получиться как положительные, так и отрицательные числа: мы определяем абсолютное значение разности и помним, с какой стороны первой точки оказался конец.

Умножение. Найти произведение длин, рис.1.

Деление. Найти отношение длин, рис. 1.

Извлечение корня, рис. 2.

Итак, можно производить вычисления геометрически (исторически первая модель), а можно при помощи десятичной системы: можно работать с отрезками, а можно считать алгебраически.

Как показал исторический опыт, алгебраическая модель оказалась удачнее, ее удалось реализовать в вычислительных машинах. Правда, модель пришлось адаптировать под реальные возможности, и она из десятичной стала двоичной.

Алгоритмы арифметических и алгебраических операций реализуются эффективнее всего именно в систематической записи (десятичная, двоичная)

И даже задачи, связанные непосредственно с геометрическими фигурами и объемными телами, можно решить с использованием десятичной системы – введением в пространстве декартовой системы координат.

Примеры. Как определить отрезки длиной ПИ и √2, геометрически и алгебраически?

1) Как геометрически можно увидеть отрезки длиной π и √2:

Нарисовать квадрат со стороной 1, – его диагональ √2 (а точнее, построить две перпендикулярных прямых, отложить отрезки длины 1 и соединить крайние точки).

И круг диаметра 1 – длина окружности π. Отмечаем на окружности точку, проводим этой окружностью вдоль прямой – получаем отрезок длины π.

2) Алгебраически для того, чтобы определить √2, нужно извлечь корень, для этого существует несколько алгоритмов. Точность можно получить любую требуемую.

Для того чтобы вычислить π, суммируются бесконечные ряды. Точность также можно получить любую требуемую.

Таким образом, то, что мы видим – удается «оцифровать» - перевести геометрию на алгебраический язык.

Обратите внимание, почему существует этот изоморфизм. Обе модели построены на 16 аксиомах действительных чисел и не выходят за их рамки. Никаких дополнительных предположений не делалось. Поэтому модели изоморфны – и если у нас есть некоторая задача, ее можно решать в любой модели – можно перевести все данные в десятичную систему, а можно рисовать картинки. Результат – ответ к задаче – будет одинаковым.

Если же при изучении некоторого объекта мы будем исходить из разных аксиом, из разных свойств – то модели не будут взаимно заменяемы.

Модель – это способ представления объектов и отношений между ними. Если модели изоморфны, то в зависимости от обстоятельств выбираем наиболее удобную, наиболее подходящую. Если же модели не изоморфны, то, вообще говоря, мы должны понимать, что именно мы можем получить в рамках той или иной модели.

4.0. Размерность пространства.

Понятие размерности введем на интуитивном уровне.

Сначала нарисуем несколько геометрических объектов.

° точка

– прямая

□ плоскость

«куб» пространство

Какие измерения есть у этих объектов? У пространства есть Д,Ш,В. На плоскости есть Д и Ш. На прямой, да и на любой линии – Д. У точки размеров нет.

Количество таких измерений и называется размерностью. (Количество взаимно перпендикулярных прямых, которые можно построить из одной точки)

Возникла мысль определить размерность по иерархической схеме, начиная с нулевой размерности точки, а затем шаг за шагом увеличивая ее на единицу. Число измерений, которые можно логически ввести таким способом, не ограниченно.

Размерность пространства в физике – это количество независимых параметров, необходимых для описания пространства. Так, в обыденной жизни нам достаточно трех параметров, скажем, длины (X), ширины (Y) и высоты (Z) строящегося дома. К этим трём параметрам можно добавить четвёртый параметр – время (t), и именно такое 4-х мерное пространство доступно человеку (нашим органам чувств и нашему воображению). Например, нам нетрудно представить, что с течением времени t параметры X, Y, Zбудут меняться в процессе строительства дома. Однако математики (с конца XIX века), а затем и физики (в начале XX века) перешли к весьма плодотворной творческой работе с пространствами старших размерностей (свыше 4-х), которые человек, вообще говоря, уже не способен наглядно представить и может описывать только на языке математики.

Поиск по сайту: