 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Алгоритмы арифметических операций
Сложение чисел – отдельно складываются цифры, нумерующие разряды единиц, десятков сотен, десятых долей, сотых долей и так далее. Из полученных цифр по разрядам составляется десятичная запись требуемой суммы.
Пример. Пусть а = 247,28, в = 378,01. Найти С = а+в. а = 2 . 102 +4 . 10 + 7 + 2 . 10-1 + 8 . 10-2, в = 3 . 102 + 7. 10 + 8 + 0 . 10-1 + 1 . 10-2 Складывая цифры, по разрядам, получаем: 2 . 102 + 3 . 102 = 5 . 102 (сотни) 4 .10 + 7 . 10 = 1. 102+10 (десятки) 7+8 = 10+5 (единицы) 2+0 =2 (десятые доли) 8+1=9 (сотые доли) Учитывая правила формирования разрядов, составляем десятичную запись числа С= а+в: С = (1. 102 +5 . 102) + (10+10)+5 = 6 . 102 +2 . 10+5 = 625
Аналогично строятся алгоритмы вычитания (цифры вычитаются по разрядам), умножения и деления. Все они основаны на сложении и группировке чисел с одинаковыми разрядами. Алгоритм сложения и умножения в столбик создан на основе именно этого алгоритма поразрядного сложения и умножения.
Фактически, десятичная система записи представляет собой модель действительных чисел, еще называемую алгебраической моделью.
Кроме нее есть еще одна модель действительных чисел:
Геометрическая модель действительных чисел Запись чисел Изображение чисел на прямой есть геометрическая модель действительных чисел. Числа представляются точками на прямой линии. Для того чтобы ее задать, требуется ввести систему координат на прямой: 1) Задать точку отсчета – она соответствует числу ноль. 2) Задать направление возрастания чисел. 3) Задать отрезок, длина которого полагается равной единице (масштаб).
Для реализации геометрической модели требуется распространить аксиому Кантора на геометрические объекты. Там она превращается в аксиому о вложенных промежутках.
В математике есть понятие бесконечно малой величины – это величина, стремящаяся к нулю. Например, 1/N с ростом N стремится к нулю: 1/10,1/11, 1/12, …, 1/100,…, 1/123454,……
Пусть есть бесконечная последовательность вложенных отрезков, длина которых бесконечно убывает. Тогда существует единственная общая для всех этих отрезков точка.
Эта аксиома задает прямую как сплошную линию, без пустот и выколотых точек. То есть, если мы увеличим масштаб и посмотрим на прямую в любой микроскоп, то увидим сплошной отрезок, без дыр. На прямой пустот нет!
Но тот факт, что каждой точке прямой сопоставляется некоторое число, и каждому числу сопоставляется некоторая точка прямой, еще требует точного доказательства.
Геометрические операции Выше говорилось про арифметические операции. Это +-*/. А какие операции существуют в геометрии? Со времен Евклида геометрическими операциями считаются те, которые могут быть произведены с использованием циркуля и линейки. Допускается:
1. Провести прямую через две данные точки. (линейка) 2. Провести окружность с центром в данной точке и с заданным радиусом.(циркуль)
Эти операции дают построить, например, 1. середину отрезка, 2. разделить отрезок на любое количество равных частей 3. зафиксировать циркулем некоторую длину и перенести ее в другое место, 4. из заданной точки опустить перпендикуляр на заданную прямую 5. провести через точку прямую, параллельную заданной 6. …
Сам перечень разрешённых операций в значительной степени обусловлен историческими причинами и, вообще говоря, мог бы быть другим. Например, можно было бы включить в число разрешённых операций операцию вычерчивание эллипса - ведь устройство для вычерчивания эллипса лишь немногим сложнее циркуля. Перечень разрешённых операций, с чисто логической точки зрения, достаточно произволен. Однако, раз он уже выбран, он не меняется – эта модель стала классической. Впоследствии было доказано, что все операции, осуществимые с помощью циркуля и линейки, осуществимы с помощью одного циркуля.
Изоморфизм моделей действительных чисел
В математике есть понятие изоморфизм – взаимно однозначное соответствие, которое сохраняет структуру. Модель - способ представления объектов и действий с ними. Изоморфизм моделей включает: 1) изоморфизм множеств (способов представления объектов) 2) изоморфизм действий (операций).
Поиск по сайту: |