Аксиоматика действительных чисел

Аксиоматика действительных чисел состоит из 16 аксиом: это 15 аксиом, описывающих рациональные числа, и к ним добавляется еще одна: аксиома непрерывности Кантора. Она играет очень важную роль, поэтому поговорим о ней подробно.

Ее краткий смысл вот в чем:

Пусть есть две числовых последовательности, одна возрастающая, другая убывающая (нарисовать на числовой прямой), причем все элементы первой последовательности меньше всех элементов второй, и они сближаются бесконечно близко. Тогда существует единственный элемент такой, что он лежит между ними.

Пример. Две геометрических прогрессии, {1/2^N} и ­{-1/2^N}. Первая убывающая, вторая возрастающая. Между ними лежит число 0.

Итак, между числами нет пустых промежутков и выколотых точек. Числа образуют сплошное множество. Пустот нет! Более того, можно доказать, что между любыми двумя числами всегда найдется бесконечное множество чисел.

Десятичная модель целых чисел

Запись чисел

Наличие операций сложения и умножения позволяет построить представление целых чисел при помощи алфавита, содержащего К знаков, называемых цифрами.

Такое представление произвольного целого числа a имеет вид:

a = a_nKⁿ+... + a₁K¹+a_o

и называется систематической К-ичной записью по основанию К. Символы a_o, a₁, ... , a_n принимают одно из К значений: 0,1,2, ... , K-1.

Систематическая десятичная запись целого числа а имеет вид:

a =a_na_n-1…a₁a₀ = a_n˙10ⁿ + a_n-1˙10^n-1 + …+ a_1˙10 + a₀

(В десятичной системе базовыми символами для записи чисел служат 0,1,2,…,9.)

Например, 532=500+30+2= 5*10²+3*10¹+2

Если число не целое, то оно представляется в десятичной системе так:

Пример. 567, 349= 5*10² + 6*10¹ + 7*10¹ + 3* + 4* + 9*

· Всего существует три вида записи действительных чисел в десятичной системе:

1) конечная, для рациональных чисел

2) бесконечная периодическая.

3) бесконечная непериодическая. для иррациональных чисел

То есть, либо 1) a = a_na_n-1…a₁a₀, β₁ β₂ … β_n илиa_na_n-1…a₁a₀

Поиск по сайту: