Аксиома непрерывности Архимеда

СистемА целых чисел

Вспомним, что натуральный ряд появился для перечисления предметов. Но если мы захотим производить какие-то действия с предметами, то нам потребуются арифметические операции над числами. То есть, если мы хотим складывать яблоки или делить торт, нам надо перевести эти действия на язык чисел.

Обратим внимание, что для введения операций + и * в язык натуральных чисел требуется добавить аксиомы, определяющие свойства этих операций. Но тогда и само множество натуральных чисел тоже расширяется.

Посмотрим, как расширяется множество натуральных чисел. Простейшая операция, которая потребовалась одной из первых – это сложение. Если мы хотим определить операцию сложения, мы необходимо должны определить обратную к ней - вычитание. В самом деле, если мы знаем, что будет в результате сложения, например, 5 и 2, то мы должны уметь решать и задачи типа: что надо прибавить к 4, чтобы получить 11. То есть, задачи, связанные со сложением, обязательно потребуют умения производить и обратное действие – вычитание. Но если сложение натуральных чисел дает снова натуральное число, то вычитание натуральных чисел дает результат, не вписывающийся в N. Потребовались какие-то еще числа. По аналогии понятного вычитания из большего числа меньшего было введено правило вычитания из меньшего большего – так появились целые отрицательные числа.

Дополняя натуральный ряд операциями + и -, мы приходим к множеству целых чисел.

Z=N+операции(+-)

СистемА рациональных чисел как язык арифметики

Рассмотрим теперь следующее по сложности действие – умножение. По сути, это многократное сложение. И произведение целых чисел остается целым числом.

Но обратная операция к умножению – это деление. А оно далеко не всегда дает целый результат. И опять мы стоим перед дилеммой – либо принять как данное, что результат деления может «не существовать», либо придумать числа какого-то нового типа. Так появились рациональные числа.

Возьмем систему целых чисел и дополним ее аксиомами, определяющими операции умножения и деления. Получим систему рациональных чисел.

Q=Z+операции(*/)

Итак, язык рациональных чисел позволяет производить все арифметические операции над числами. Языка натуральных чисел для этого было недостаточно.

Приведем аксиоматическое определение системы рациональных чисел.

Определение. Множество Q называется множеством рациональных чисел, а его элементы - рациональными числами, если выполняется следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой рациональных чисел:

Аксиомы операции сложения. Для всякой упорядоченной пары х,у элементов из Q определен некоторый элемент х+у ÎQ, называемый суммой х и у. При этом выполняются следующие условия:

1. (Существование нуля) Существует элемент 0 (нуль) такой, что для любого хÎQ

х+0=0+х=х.

2. Для любого элемента х Î Q существует элемент - х Î Q (противоположный х) такой, что

х + (-х) = (-х) + х = 0.

3. (Коммутативность) Для любых х,у Î Q

x+y=y+x

4. (Ассоциативность) Для любых х,у,zÎ Q

х + (у + z) = (х + у) + z

Аксиомы операции умножения.

Для всякой упорядоченной пары х, у элементов из Q определен некоторый элемент ху Î Q, называемый произведением х и у. При этом выполняются следующие условия:

5. (Существование единичного элемента) Существует элемент 1 Î Q такой, что для любого х Î Q

х ^.1 = 1^. х = х

6. Для любого элемента х Î Q , (х ≠ 0) существует обратный элемент х^-1 ≠0 такой, что

х^.х ^-1 = х^-1. х = 1

7. (Ассоциативность) Для любых х, у,z Î Q

х ^. (у ^. z) = (х ^.у) ^. z

8. (Коммутативность) Для любых х, у Î Q

х ^. у = у^. x

Аксиома связи сложения и умножения.

9. (Дистрибутивность) Для любых х, у, z Î Q

(х+у) ^. z = x ^. z+у ^. z

Аксиомы порядка.

Всякие два элемента х, у, Î Q вступают в отношение сравнения ≤. При этом выполняются следующие условия:

10. (х ≤у)L (у≤x) ó x=у

11. (х ≤у)L (у≤z) => x≤ z

12. Для любых х, у Î Q либо х< у, либо у < x .

Отношение < называется строгим неравенством,

Отношение = называется равенством элементов из Q.

Аксиома связи сложения и порядка.

13. Для любых x, y, z ÎQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Аксиома связи умножения и порядка.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Аксиома непрерывности Архимеда.

15. Для любых a > b > 0 существует m Î N и n Î Q такие, что m ³ 1, n < b и a= mb+n.

*****************************************

Таким образом, система рациональных чисел – это язык арифметики.

Тем не менее, для решения практических вычислительных задач этого языка оказывается недостаточно.

Поиск по сайту: