Тригонометрические функции. Функции комплексного переменного:

Лекция

Функции комплексного переменного:

1.Множество комплексных чисел

< r

2.Внутренность круга радиусом r = и с центром z = 0.

= r

3, Смещение центра окружности

= r

4. Окружность с центром в точке и радиусом r.

r ⩽ < R

5. A< ImZ ⩽ B

6. A < ReZ < B

7. j < argZ <j

Понятие функции комплексного переменного.

Пусть D и E – два множества комплексных чисел.

Определение:

Если каждому комплексному числу z из множества D (z ∈ D) по некоторому закону f поставлено в соответствие определению комплексного числа W ∈ E , то говорят что на множестве D задана однозначная функция комплексного переменного w = f(z).

Определение:

Множество D называется областью определения функции w = f(z), а множество E область значения функции и если f(D) ⊂ E.

Пример:

1) f(z) = –однозначная функция комплексной переменной

D(f) - вся комплексная плоскость

2) f(z) = – однозначная функция комплексной переменной

D (f) - вся комплексная плоскость

3) f(z) = (n⩾2) - многозначная функция комплексной переменной

D (f) - вся комплексная плоскость

4) f(z) = argZ = argz +2πk, k ∈ Z -

многозначная функция комплексной переменной

D (f) - вся комплексная плоскость

Функцию комплексноой переменной можно записать в следующем виде

f (z)=U(x,y) + I V(x,y) , где z = x + iy, z ∈ D

U(x,y) и V(x,y) – функции двух действительных переменных

U(x,y) = Ref(z) – действительная часть функции комплексного переменного

V(x,y) = Imf(z) – мнимая часть функции комплексного переменного

Пример:

Найти действительную и мнимую часть функции комплексного переменного

f (z) = 3z +1/z ; z = x + i

f (z)= 3(x + iy) +1/ x + iy = 3x+3 iy +

(x- iy) /(x- iy) (x- iy) = 3x+3 iy +(x- iy) /( + )=

(3x + (x / ( + )) + ( 3y-y /( + ))i

U(x,y) = (3x + x /( + ))

V(x,y) =+ ( 3y-y /( + ))

Итак задание функции комплексной переменной равносильна заданию функции зависяшей от двух действительных переменных.

Основные элементарные функции:

1. Показательная функция

1) W = ; z = x + iy

W = = = ( cosy + isiny)

ReW = cosy

ImW = siny

= = = = = 0

Область определения: D (f) - вся комплексная плоскость

	Показательная функция отлична от 0 во всех точках комплексной плоскости. Показательная функция не имеет смысл при .!!!!!

2) – периодическая функция, с периодом T = 2πi

Покажем это

= = (cos2π + isin2π) = => функция периодическая

2. Логарифмическая функция

W= lnZ - многозначная функция комплексной переменной

D (f) - вся комплексная плоскость (искл. z = 0)

z = r * - показательная форма записи

W= lnZ = U + iV

Z =

= = = r * => r =

v = + 2πk, k ∈ Z

W= Ln +i(argz +2πk), k ∈ Z

	LnZ = Ln +i(argz +2πk), k ∈ Z

LnZ= Ln +iargz

Тригонометрические функции

Поиск по сайту: