Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Що називають одиничним станом пружної системи?

ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ

 

Що таке узагальнена сила і узагальнене переміщення?

Робота сили, що статично діє на довільну пружну систему

Тут під силою будемо розуміти узагальнену силу - будь-який силовий вплив: зосереджену силу, групу сил, розподілене навантаження, зосереджений момент і т.п. Під переміщенням будемо розуміти узагальнене переміщення - той вид переміщення, на якому узагальнена сила виконує роботу.

 

2. Що таке грузова епюра?

Розглянемо прямий поперечний згин балки, що навантажена довільним зовнішнім навантаженням (рис. 7.4,а). Такий стан балки назвемо грузовим.

 

Що називають одиничним станом пружної системи?

Знайдемо прогин точки . Для цього розвантажимо балку, а в напрямку шуканого переміщення прикладемо оди-ничну (безрозмірну) силу . Такий стан балки назвемо одиничним.

 

 
Грузовий стан
Одиничний стан

 

 
Грузовий стан
Одиничний стан

 

5. Запишіть інтеграл Мора для прямого поперечного згину.

формулу Мора (інтеграл Мора) для прямого поперечного згину

. (7.12)

Тут - вираз згинного моменту, що виникає в одиничному стані, - вираз згинного моменту в грузовому стані.

 

6. Який порядок визначення лінійних та кутових переміщень з допомогою інтеграла Мора?

При визначенні переміщень дотримуються такої послідовності дій:

1) Будують епюри внутрішніх силових факторів від заданого навантаження (грузові епюри);

2) Відкинувши задане навантаження, в перерізі, де визначають переміщення, прикладають одиничну силу (або момент) у напрямку шуканого переміщення і будують епюри внутрішніх силових факторів (одиничні епюри);

3) „Перемножують” грузові епюри з одиничними за формулою

7. Обчислення інтеграла Мора за способом Верещагіна.

,  

8. тут чисельник кожного доданка дорівнює добутку площі нелінійної епюри на ординату лінійної епюри, що відповідає центру ваги нелінійної. Добуток площі нелінійної епюри на ординату лінійної вважають додатнім, якщо площа і ордината розміщені з одного боку від осі епюри.

 

9. Теорема про взаємність робіт (теорема Бетті).

Можлива робота сил першого стану на переміщеннях в їх напрямку, що викликані силами другого стану, дорівнює можливій роботі сил другого стану на переміщеннях в їх напрямку, але викликаних силами першого стану (рис. 7.2) . Ця теорема справедлива як для зовнішніх, так і для внутрішніх сил, тобто

; ; . (7.4)

 
Теорема про взаєм-ність переміщень (теорема Максвела). При двох чисельно рівних силових впливах переміщення, що викликане силами першого стану в напрямку сил другого стану, дорівнює переміщенню, що викликане силами другого стану, в напрямку сил першого стану. Отже, якщо , то

. (7.5)

 

 

Статично невизначена балка

1. Які балки називають статично невизначеними?

Якщо кількість реакцій, що виникають у накладених на балку в’язах перевищує кількість рівнянь статики, які можна скласти, то балку називають статично невизначеною.

 

 

2. Що називають ступенем статичної невизначеності балки?

Ступінь статичної невизначеності знаходять за формулою

,  

де - кількість реакцій у в’язах, що накладені на балку; - кількість рівнянь рівноваги, що можна скласти для даної балки. Наприклад, для балки, що зображена на рис.8.2,б , тобто така балка двічі статично невизначена.

 

3. 4. 5. Метод сил - це найбільш загальний метод розкриття статичної невизначеності стержнів, балок та стержневих систем (рам, арок, ферм тощо).

в)
б)
а)
Рисунок 8.3
Основна система
Розглянемо довільну разів статично невизначену балку (рис. 8.3,а). Шляхом видалення зайвих в’язей вихідну балку перетворюють у статично визначену (рис.8.3,б), яку називають основною системою методу сил. Вибрати зайвих в’язей можна по різному, тобто для однієї балки можна утворити кілька основних систем (тут слід керуватися тим, щоб розрахунок у вибраному
Еквівалентна система
варіанті основної системи був найпростішим).

Завантаживши основну систему зовнішнім навантаженням і невідомими реактивними силами , , ..., , що замінюють вплив на балку видалених в’язей, отримаємо еквівалентну систему (рис. 8.3,в).

Невідомі сили , , ..., необхідно підібрати так, щоб еквівалентна система поводила себе як реальна. Умова еквівалентності описується канонічними рівняннями методу сил. Для їх запису зазвичай прирівнюють нулеві (чи заздалегідь відомій величині) переміщення точок кріплення видалених зайвих в’язей.

Використовуючи принцип суперпозиції, запишемо вирази для знаходження прогинів балки в точках кріплення видалених в’язей , ..., у вигляді суми прогинів, що викликані окремо кожною невідомою силою , , ..., і заданим зовнішнім навантаженням :

. (8.1)

Нагадаємо, що, наприклад, позначка означає прогин точки прикладання сили в напрямку її дії від сили ; - те ж саме, тільки від зовнішнього навантаження і т.д. Прогини , , ..., можна записати як добутки питомого прогину , що викликаний дією одиничної сили, на величину відповідної сили.

Наприклад, ; ; ,  

або загалом .

 

6. Запишіть систему канонічних рівнянь.

    (8.2)

Рівняння переміщень, що записані у вигляді (8.2), називають канонічними рівняннями методу сил (тут пунктиром виділені рівняння для один раз та два рази статично невизначених балок). Необхідна кількість рівнянь дорівнює ступеню статичної невизначеності балки.

Переміщення , , що входять до канонічних рівнянь, можна визначити у будь-який зручний спосіб. Зазвичай користуються інтегралом Мора, який частіш за все обчислюють за способом Верещагіна. Для цього в основній системі будують епюри згинних моментів окремо від заданого зовнішнього навантаження (так звана грузова епюра ) і від кожної одиничної сили (так звані одиничні епюри: від - епюра , від - епюра , від - епюра ).

Для визначення головних коефіцієнтів , , ..., необхідно епюри , , ..., помножити самі на себе за способом Верещагіна, або користуючись формулою Мора

; ; ...; .  

Для визначення бічних коефіцієнтів канонічних рів-

нянь , , ..., необхідно епюри , , ..., пере-

множити з відповідними епюрами , , ..., за способом Верещагіна, або

; ; ...; .  

Нагадаємо, що за теоремою про взаємність переміщень

.  

Для визначення вільних членів канонічних рівнянь , , ..., необхідно грузову епюру перемножити з відповідними одиничними епюрами , , ..., , або

; ; ...; .

 

8. Як визначаються коефіцієнти і вільні члени системи канонічних рівнянь?

Для перевірки правильності визначення коефіцієнтів і вільних членів канонічних рівнянь необхідно побудувати сумарну одиничну епюру, додаючи із врахуванням знаків всі одиничні епюри.

. (8.3)

При перемноженні за способом Верещагіна сумарної одиничної епюри на одиничну епюру отримаємо суму коефіцієнтів першого рівняння; при перемноженні епюри на епюру - суму коефіцієнтів другого рівняння і т.д.:

(8.4)

Така перевірка називається перевіркою за рядками.

Крім перевірки за рядками, можлива універсальна перевірка. Згідно із нею сума всіх коефіцієнтів рівнянь повинна дорівнювати добутку (за Верещагіним) сумарної одиничної епюри самої на себе

. (8.5)

Для вільних членів канонічних рівнянь перевірка зводиться до наступного: їх сума повинна дорівнювати добутку сумарної епюри на грузову епюру

. (8.6)

 

 

Стійкість стиснутого стержня.

 

1. Форми пружної рівноваги. Коефіцієнт запасу стійкості.

У стані стійкої рівноваги перебуває важка кулька на дні сферичного заглиблення (рис. 10.1,а). При відхиленні кульки від початкового положення вона після певної кількості коливань повернеться у вихідний стан. Стиснутий стержень перебуває в стані стійкої рівноваги, якщо стискаюча сила не перевищує критичного значення . У разі викривлення прямолінійної форми стержня внаслідок прикладання бічної сили він повернеться до початкової форми під дією внутрішніх сил пружності після усунення причини відхилення.

Кулька на горизонтальній плоскій поверхні (рис.10.1,б) перебуває в стані байдужої рівноваги, оскільки будь-яке її положення буде однаково стійким. Форма рівноваги стиснутого стержня є байдужою, коли стискаюча сила досягає критичного значення. При цьому стержень може зберегти

Рисунок 10.1
прямолінійну форму, але може і втратити її внаслідок навіть незначного впливу.

Кулька на опуклій поверхні (рис. 10.1,в) перебуває в стані нестійкої рівноваги. У разі виведення кульки з цього положення у вихідний стан вона не повернеться. Стиснутий стержень перебуває в стані нестійкої рівноваги, якщо стискаюча сила перевищує критичне значення. При цьому прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою. Втрата стійкості – це відхилення осі стержня від прямолінійної форми рівноваги, спричинене дією стискаючої сили.

 

Для безпечної роботи стиснутих стержнів необхідно, щоб стискаюче навантаження було меншим за критичну силу:

 

, (10.1)

 

де - коефіцієнт запасу стійкості.

Величину коефіцієнта запасу стійкості приймають трохи більшою, ніж величину коефіцієнта запасу міцності, оскільки беруть до уваги додаткові несприятливі обставини: початкове викривлення стержня, ексцентриситет прикладання навантаження та ін.

Для сталевих стержнів приймають від 1,8 до 3; для стержнів із чавуну ; для дерев’яних стержнів .

 

2. Формула Ейлера для критичної сили. Пояснення.

Рисунок 10.3
Рисунок 10.2
Прямий стержень з шарнірно обіпертими кінцями (рис. 10.2) стискається силою, що дорівнює критичній . Припускається, що напруження під дією критичної сили не перевищують границі пропорційності. У цьому разі стан рівноваги стержня буде байдужим, тобто викривлена форма стержня також буде зрівноваженою. Розглянемо стан стержня із зігнутою віссю, але вважатимемо відхилення від прямої форми неістотним. Тоді диференціальне рівняння осі стержня має вигляд

, (10.2)

де - мінімальний момент інерції поперечного перерізу стержня; - відхилення центра ваги довільного перерізу від початкового положення на прямій осі; - згинний момент у довільному перерізі зігнутого стержня.

Введемо позначення і дістанемо лінійне однорідне диференціальне рівняння

. (10.3)

Загальний інтеграл цього рівняння є гармонічною функцією

, (10.4)

Підставивши граничні умови в розв’язок (10.4), дістанемо систему двох рівнянь

; . (10.5)

Стала інтегрування не повинна дорівнювати нулю, інакше виключається викривлення стержня. Звідси робимо висновок, що в другому з рівнянь (10.5) нулю дорівнює другий співмножник:

,  

звідки

, (10.6)

де - довільне ціле число.

У розрахунках на стійкість практичне значення має найменша критична сила, що відповідає рівності :

. (10.8)

Рівняння (10.8) називається формулою Ейлера.

Якщо більше за одиницю, то зігнута вісь стержня, що описується рівнянням

.      

Отже, якщо стискаюча сила , то стержень має лише одну – прямолінійну форму рівноваги, що є стійкою.

Якщо , то поряд із прямолінійною існує інша – криволінійна форма рівноваги, причому прямолінійна форма рівноваги нестійка, а стійкою є викривлена форма рівноваги. В таких випадках кажуть, що відбувається біфуркація рівноважних станів стержня.

 

3. Межі застосування формули Ейлера. Що робити коли вони не виконуються.

Оскільки формула Ейлера виведена в припущенні, що критичні напруження не перевищують границі пропорційності, існують певні межі її застосування, які визначаються нерівностю

, (10.19)

де - границя пропорційності матеріалу стержня.

З нерівності (10.19) визначимо умову, яку повинна задовільняти гнучкість стержня, щоб формула Ейлера була застосовною:

. (10.20)

Знак рівності в цій умові відповідає граничній гнучкості , при зменшенні якої формула Ейлера стає непридатною. Бачимо, що гранична гнучкість стержня є його фізико-механічною характеристикою і залежить від модуля пружності і границі пропорційності. Для стержнів, виготовлених з маловуглецевої сталі Ст3, при модулі пружності і границі пропорційності гранична гнучкість

,  

тобто для сталі Ст3 формула Ейлера застосована при . Відповідно для матеріалів з іншими механічними характеристиками граничні гнучкості матимуть інші значення.

Рисунок 10.6  
Із зменшенням гнучкості стержня критичне напруження зростає, а якщо гнучкість нижча від граничної, критичне напруження перевищує границю пропорційності. Тоді у практичних розрахунках користуються емпіричними формулами, отриманими в результаті експериментальних досліджень. Зокрема, застосовують формулу запропоновану Ф.С.Ясинським:

, (10.21)

де , та - коефіцієнти, що залежать від матеріалу стержня і визначаються експериментально (для пластичних матеріалів ).

За формулою Ясинського обчислюють критичні напруження для стержнів середньої гнучкості, що широко використовуються в багатьох сталевих та залізобетонних конструкціях. Для сталевих (Ст3) стержнів середня гнучкість становить .

Прямо пропорційній залежності між критичним напруженням та гнучкістю для стержнів середньої гнучкості на графіку (див. рис. 10.6) відповідає похила пряма ділянка – так звана пряма Ясинського, що продовжує гіперболу Ейлера. Стержні малої гнучкості на стійкість не розраховують, оскільки відповідні критичні напруження для них перевищують границю текучості, тобто руйнування таких стержнів відбувається внаслідок втрати міцності (рис.10.6 ділянка паралельна осі абсцис).

 

4. Вплив способу закріплення на критичну силу.Зведена довжина.

Розглянемо вплив першого фактору, тобто вплив умов закріплення стержня. Формулу (10.10) можна отримати, якщо розглянути рівняння поздовжнього згину четвертого порядку

 

. (10.12)

 

Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд

 

. (10.13)

Сталі визначають з граничних умов. Наприклад, для другого випадку закріплення (рис. 10.4,б):

 

; ; ; . (10.14)

 

Використовуючи ці умови, одержимо систему однорідних рівнянь

(10.15)

Система (10.15) матиме ненульове рішення, якщо її визначник дорівнює нулю:

.  

Розкривши цей визначник, отримаємо трансцендентне рівняння для визначення :

. (10.16)

Найменший корінь цього рівняння визначає першу критичну силу , тоді

.  

Таким чином ; . Аналогічно отримують значення коефіцієнтів, що вказані на рис. 10.4, при інших способах закріплення стержня.

у
Рисунок 10.5
Досить часто застосовують різні способи закріплення стержня в головних площинах, що раціонально при неоднакових головних моментах інерції перерізу. Тоді більш жорстке зак­ріплення встановлюють у площині меншої жорсткості стержня, як це виконано, наприклад, для стояка двотаврового перерізу (рис. 10.5). У головній площині інерції застосоване жорстке затиснення кінців стержня, тоді як у площині більшої жорсткості - шарнірне.

У таких випадках критичною силою для стержня буде менша з двох визначених окремо для кожної з головних площин:

; ,  

де та - головні моменти інерції перерізу стержня.

Рисунок 10.4
Узагальнена формула Ейлера для визначення критичної сили має вигляд

, або (10.10)
, (10.11)

де - коефіцієнт зведення довжини стержня (коефіцієнт Ясинського), що чисельно рівний величині, оберненій числу півхвиль синусоїди, по якій згинається стержень; - коефіцієнт стійкості, що визначають за формулою

.  

Величину називають зведеною довжиною. Це умовна довжина шарнірно обіпертого стержня, для якого критична сила дорівнює критичній силі для заданого стержня довжиною .

Коефіцієнти і залежать від трьох факторів:

1) характеру в’язей, що накладені на торцеві і проміжні перерізи стержня;

2) виду навантаження стержня зовнішніми силами (зосереджені чи розподілені) та місця їх прикладання;

3) характеру зміни перерізу стержня по його довжині.

 

 

5. Гнучкість стержня. Критичні напруження.

 

У стиснутому стержні критичні напруження виникають під дією критичної сили:

.  

Урахувавши, що відношення є квадратом мінімального радіуса інерції , одержимо

.  

Введемо безрозмірну величину , що називається гнучкістю стержня і дорівнює відношенню зведеної довжини до мінімального радіуса інерції поперечного перерізу:

. (10.17)

Бачимо, що гнучкість стержня є його узагальненою геометричною характеристикою. Чим вона вища, тим гірше стержень опирається поздовжньому згину.

Тепер критичне напруження визначатиметься за формулою

. (10.18)

Залежність між критичним напруженням та гнучкістю можна подати у вигляді гіперболічної кривої – гіперболи Ейлера (рис. 10.6).

, (10.19)

де - границя пропорційності матеріалу стержня.

З нерівності (10.19) визначимо умову, яку повинна задовільняти гнучкість стержня, щоб формула Ейлера була застосовною:

. (10.20)

Знак рівності в цій умові відповідає граничній гнучкості , при зменшенні якої формула Ейлера стає непридатною. Бачимо, що гранична гнучкість стержня є його фізико-механічною характеристикою і залежить від модуля пружності і границі пропорційності. Для стержнів, виготовлених з маловуглецевої сталі Ст3, при модулі пружності і границі пропорційності гранична гнучкість

,  

тобто для сталі Ст3 формула Ейлера застосована при . Відповідно для матеріалів з іншими механічними характеристиками граничні гнучкості матимуть інші значення.

 

6.Формула ясинського для критичної сили. Поясніть як і коли її використовувати.

 

 

Рисунок 10.6  
Із зменшенням гнучкості стержня критичне напруження зростає, а якщо гнучкість нижча від граничної, критичне напруження перевищує границю пропорційності. Тоді у практичних розрахунках користуються емпіричними формулами, отриманими в результаті експериментальних досліджень. Зокрема, застосовують формулу запропоновану Ф.С.Ясинським:

, (10.21)

де , та - коефіцієнти, що залежать від матеріалу стержня і визначаються експериментально (для пластичних матеріалів ).

За формулою Ясинського обчислюють критичні напруження для стержнів середньої гнучкості, що широко використовуються в багатьох сталевих та залізобетонних конструкціях. Для сталевих (Ст3) стержнів середня гнучкість становить .

Прямо пропорційній залежності між критичним напруженням та гнучкістю для стержнів середньої гнучкості на графіку (див. рис. 10.6) відповідає похила пряма ділянка – так звана пряма Ясинського, що продовжує гіперболу Ейлера. Стержні малої гнучкості на стійкість не розраховують, оскільки відповідні критичні напруження для них перевищують границю текучості, тобто руйнування таких стержнів відбувається внаслідок втрати міцності (рис.10.6 ділянка паралельна осі абсцис).

 

7. Класифікація стержнів за гнучкістю. Графік залежності критичних напр.

Введемо безрозмірну величину , що називається гнучкістю стержня і дорівнює відношенню зведеної довжини до мінімального радіуса інерції поперечного перерізу:

. (10.17)

Бачимо, що гнучкість стержня є його узагальненою геометричною характеристикою. Чим вона вища, тим гірше стержень опирається поздовжньому згину.

Тепер критичне напруження визначатиметься за формулою

. (10.18)

Залежність між критичним напруженням та гнучкістю можна подати у вигляді гіперболічної кривої – гіперболи Ейлера (рис. 10.6). Оскільки формула Ейлера виведена в припущенні, що критичні напруження не перевищують границі пропорційності, існують певні межі її застосування, які визначаються нерівностю

, (10.19)

де - границя пропорційності матеріалу стержня.

З нерівності (10.19) визначимо умову, яку повинна задовільняти гнучкість стержня, щоб формула Ейлера була застосовною:

. (10.20)

Знак рівності в цій умові відповідає граничній гнучкості , при зменшенні якої формула Ейлера стає непридатною. Бачимо, що гранична гнучкість стержня є його фізико-механічною характеристикою і залежить від модуля пружності і границі пропорційності. Для стержнів, виготовлених з маловуглецевої сталі Ст3, при модулі пружності і границі пропорційності гранична гнучкість

,  

тобто для сталі Ст3 формула Ейлера застосована при . Відповідно для матеріалів з іншими механічними характеристиками граничні гнучкості матимуть інші значення.

Рисунок 10.6  
Із зменшенням гнучкості стержня критичне напруження зростає, а якщо гнучкість нижча від граничної, критичне напруження перевищує границю пропорційності. Тоді у практичних розрахунках користуються емпіричними формулами, отриманими в результаті експериментальних досліджень. Зокрема, застосовують формулу запропоновану Ф.С.Ясинським:

, (10.21)

де , та - коефіцієнти, що залежать від матеріалу стержня і визначаються експериментально (для пластичних матеріалів ).

За формулою Ясинського обчислюють критичні напруження для стержнів середньої гнучкості, що широко використовуються в багатьох сталевих та залізобетонних конструкціях. Для сталевих (Ст3) стержнів середня гнучкість становить .

Прямо пропорційній залежності між критичним напруженням та гнучкістю для стержнів середньої гнучкості на графіку (див. рис. 10.6) відповідає похила пряма ділянка – так звана пряма Ясинського, що продовжує гіперболу Ейлера. Стержні малої гнучкості на стійкість не розраховують, оскільки відповідні критичні напруження для них перевищують границю текучості, тобто руйнування таких стержнів відбувається внаслідок втрати міцності (рис.10.6 ділянка паралельна осі абсцис).

 

8. Умова стійкості. Коеф. зменшення допустимого напруження (розкрити зміст).

У розрахунках на стійкість критичне напруження є руйнівним, як границя текучості або границя міцності в розрахунках на міцність. Тому введено поняття допустимого напруження на стійкість :

,  

де - коефіцієнт запасу стійкості.

Умова стійкості вимагає, щоб напруження, яке виникає при стисканні, не перевищувало допустимого напруження на стійкість:

.  

Проте обчислення допустимого напруження на стійкість ускладнюється внаслідок того, що критичне напруження залежить не лише від властивостей матеріалу, а й від гнучкості стержня.

Знайдемо залежність між допустимим напруженням на стійкість та допустимим напруженням на міцність при стиску:

 

, (10.22)

 

де - допустиме напруження на міцність при стисканні; - коефіцієнт запасу міцності.

Шукана залежність

, (10.23)

де - коефіцієнт зменшення основного допустимого напруження на міцність при розрахунку на стійкість.

Коефіцієнт для кожного матеріалу можна визначити при будь-якому значенні гнучкості й подати у вигляді таблиці або графіку залежності від .

Отже, з урахуванням залежності (10.23) умова стійкості набирає вигляду

. (10.24)

 

9. Перевірний розрахунок на стійкість. Опишіть послідовність дій.

 

Перевірка стійкості полягає у перевірці виконання умови стійкості . (10.24) в такій послідовності:

- визначають мінімальний момент інерції поперечного перерізу стержня та мінімальний радіус інерції (при однаковому закріпленні в головних площинах):

;  

- обчислюють гнучкість стержня за формулою (10.17);

- за таблицями вибирають коефіцієнт зменшення основного допустимого напруження ;

добуті вихідні дані підставляють в умову стійкості (10.24) для перевірки її виконання.

 

10. Проектний розрахунок на стійкість. Опишіть послідовність дій.

Добір поперечного перерізу стержня, або проектувальний розрахунок, здійснюється на підставі обчислення площі перерізу з умови стійкості:

. (10.26)

Ця задача не має єдиного розв’язку, оскільки до нерівності (10.26) входять дві невідомі величини: площа перерізу та коефіцієнт , який залежить від невизначених ще розмірів перерізу, його форми та довжини стержня. Тому задачу розв’язують методом послідовних наближень з перевіркою проміжних результатів за допомогою умови стійкості в такій послідовності:

- беруть довільне значення коефіцієнта та обчислюють площу перерізу стержня:

;  

- відповідно до обчисленої площі визначають розміри перерізу або вибирають номер профілю із сортаменту;

- визначають радіус інерції та гнучкість стержня, за якою з таблиць знаходять j1*;

- порівнюють коефіцієнти j1 та j1* і, якщо розбіжність невелика, перевіряють умову стійкості (10.24); у разі істотної розбіжності значень j1 та j1* виконують друге наближення, для якого оптимальним значенням коефіцієнта зниження основного допустимого напруження j2 буде середньоарифметичне

.  

Після цього повторюють всі зазначені дії.

Щоб отримати задовільний розв’язок, здебільшого треба виконати кілька наближень.

 

Розрахунок на міцність та жорсткість при ударі.

 

1. Що таке ударне навантаження? Технічна теорія удару.

Визначення прискорень частинок матеріалу при ударі досить проблематичне. Тому для розв’язання задач зазвичай використовують закон збереження енергії. При цьому будують спрощену розрахункову модель системи, що базується на кількох припущеннях, які в більшості випадків забезпечують достатній для інженерних розрахунків рівень точності.

1. Напруження, що виникають в системі при ударі, не перевищують границю пропорційності матеріалу, тобто завжди можна використовувати закон Гука.

2. Удар будемо вважати ідеально непружним (без відскакування). Тобто падаюча маса після удару наче прилипає до тіла, що зазнає удару, після чого вони продовжують рухатися разом.

3. Місцеві деформації, що виникають в місці контакту тіл не враховуємо.

4. Розглядаємо випадки, коли маса пружного тіла, що зазнає удару, мала порівняно з масою тіла, що удару завдає. Тому пружну систему вважаємо безмасовою. Разом з цим нехтуємо явищем розповсюдження хвиль деформацій.

5. Вважаємо, що кінетична енергія, падаючого тіла повністю перетворюється у потенціальну енергію пружної деформації тіла, яке сприймає удар.

6. Закон розподілу напружень і деформацій по об’єму тіла, яке зазнає удару, залишається таким самим як і при статичній дії сил.

На основі цих припущень визначимо переміщення і напруження, що виникають в стержнях при ударі.

Зазначимо, що в рамках технічної теорії удару можна врахувати вплив маси пружної системи. Це підвищує точність розрахунків.

 

2. Динамічний коефіцієнт при ударі.

Позначивши динамічний коефіцієнт при поздовжньому ударі як

, (12.6)

отримаємо

, (12.7)

а враховуючи лінійний зв’язок між напруженнями і деформаціями

, (12.8)

де - напруження, що виникає при статичному прикладанні навантаження.

Вираз для динамічного коефіцієнта (12.6) можна записати в іншому вигляді, якщо скористатися залежністю між висотою та швидкістю у момент зіткнення. Знаючи, що , звідки , матимемо

. (12.9)

Коли навантаження прикладається раптово ( , ), то , а ; .

Якщо вантаж падає з великої висоти , то вираз для динамічного коефіцієнта спрощується:

. (12.10)
(12.13)

- динамічний коефіцієнт при поперечному ударі.

 

3. Напруження та переміщення при поздовжньому ударі.

Нехай на стержень довжиною з висоти вільно падає вантаж (рис. 12.1,а). Абсолютне видовження стержня, що спричинене динамічною поздовжньою силою , позначимо . Оскільки швидкість падаючого вантажу в кінці удару дорівнюватиме нулю, то зміна кінетичної енергії дорівнюватиме роботі сили , тобто

, (12.1)

а потенціальна енергія пружної деформації стержня

. (12.2)

Рисунок 12.1
Користуючись законом збереження енергії, прирівняємо праві частини (12.1) і (12.2)

. (12.3)

Використовуючи вираз закону Гука , визначимо і підставимо у формулу (12.3):

. (12.4)

Врахуємо, що абсолютне видовження стержня при статичному прикладанні вантажу (рис. 12.1,б)

,  

тоді розділивши ліву і праву частини рівняння (12.4) на жорсткість стержня прийдемо до зведеного квадратного рівняння

.  

Розв’язавши його відносно , матимемо

. (12.5)

В останній формулі слід остаточно прийняти знак плюс, оскільки знак мінус не відповідає фізичному змісту задачі (очевидно, що ).

 

4. Напруження та переміщення при поперечному ударі

 

Рисунок 12.2    
Нехай на балку з висоти вільно падає вантаж (рис. 12.2,а). Розв’язуючи задачу так само, як і при поздовжньому уда-рі, прийдемо до рівняння

. (12.11)

Вираз (12.11) однаковий для довільних умов на краях балки. Можуть змінюватися лише абсолютні значення і .

Розв’язавши рівняння (12.11) відносно , одержимо

, (12.12)

де - прогин балки при статичному прикладанні навантаження (ри.с12.2,б);

 

Розрахунок на міцність при повторно змінних напруженнях.

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.