Задача.Продавец продает телевизор, он может быть качественной сборки (в дереве левая ветка) и будет работать долго или некачественной сборки (правая ветка) и быстро сломается. Покупатель не знает, какой сборки телевизор, но при этом он может заплатить за него настоящими деньгами (левая ветка) или фальшивыми (правая ветка). Продавец, не зная о том, какими деньгами с ним рассчитываются, может продать телевизор (левая ветка) или отказаться от продажи (правая ветка), при этом он знает какой сборки телевизор.
Решение.
x z1 z2
y=1
y=2
min
(1,(1,1))
5
-10
-10
(1,(1,2))
5
-10
-10
(1,(2,1))
-3
0
-3
(1,(2,2))
-3
0
-3
(2,(1,1))
-1
-1
(2,(1,2))
(2,(2,1))
10
-1
-1
(2,(2,2))
0
2
max
Вычеркиваем дублирующие строки: 1, 3, 7, 8. Строка 6 больше, чем 4, вычеркиваем меньшую - 4. Строка 5 больше, чем 2, вычеркиваем 2 строку.
Ответ: . Следовательно, продавец с наибольшей вероятностью должен пытаться продать некачественный телевизор, но в последний момент отказываться от сделки, а покупатель с большей вероятностью должен расплачиваться фальшивыми деньгами, то есть пытаться обмануть продавца.
Позиционные игры со случайным ходом.
Задача.Судья кидает монету, может выпасть орел (левая ветка) или решка (правая ветка). Игрок А должен угадать как монета упала, и игрок В должен угадать как выпала монета, при этом зная, что сказал игрок А.
Ответ: . Следовательно, игроку А нужно всегда говорить “решка”, и игроку В также говорить “решка”.
3. Статистические игры.
Задача.Еженедельный спрос на молоко в магазине может быть 500, 1500, 2500, 3500. Если пакет молока не будет продан за неделю, то его можно продать на следующей неделе за 28 рублей. Стоимость пакета молока в магазине – 50 рублей, закупочная цена – 30 рублей. Сколько нужно завозить в магазин пакетов молока?
Решение.
Спрос
П1
П2
П3
П4
min
А1
Предложение
А2
матрица выигрышей
А3
А4
max
Критерий Лапласа.
А4 (37000)
Критерий Вальда.
А1 (10000)
Критерий Сэвиджа.
max
R=
А4 (r = 6000)
Критерий Гурвица.
А4 (20500)
Ответ:А4 является оптимальной стратегией, следовательно, завозить следует еженедельно по 3500 пакетов молока.
Антагонистические игры.
Задача.Два первобытных человека А и В играют на камешки. У А – 10 камешек, у В – 15 камешек, класть можно только число камешек кратное 5. Они раскладывают камешки в 2 коробки, если у А в i-ой коробке больше камешек, чем у В, то он забирает все камешки противника, находящиеся в этой коробке. Если у А меньше камешек, чем у противника, то он отдает все камешки, находящиеся в этой коробке. Если суммы равны, то ничья.
Решение.
В1
В2
В3
В4
15 0
10 5
5 10
0 15
А1
10 0
-10
0
5
А2
5 5
-5
-5
-5
-5
А3
0 10
5
0
-10
Столбец 2 больше, чем 1 (В2 доминирует над В1), вычеркиваем больший – 2. Столбец 3 больше, чем 4 (В3 доминирует над В4), вычеркиваем 3 столбец.
После вычеркивания столбцов получаем:
В1
В4
А1
-10
А2
-5
-5
А3
-10
q
1-q
z = -10q : A1
z = -5q-5(1-q) : A2 z = -5q-5+5q = -5
z = -10+10q : A3
-10q = -10+10q
-20q = -10
Выбираем 1 и 3 строки:
В1
В4
А1
-10
p
А3
-10
1-p
z = -10p : B1
z = -10+10p : B4
Ответ: Следовательно, игрок А может пользоваться с равной вероятностью как 1 (10 камешек в 1 коробку, 0 во 2-ую), так и 3 (0 в 1-ую коробку, 10 во 2-ую) стратегиями. Игрок В с равными вероятностями может пользоваться 1 (15 камешек в 1-ую коробку, 0 во 2-ую), так и 4 (0 в 1-ую, 15 во 2-ую).
Матричные игры.
Задача.Пробиваются пенальти. Игрок А может ударить влево или вправо, вратарь – игрок В может прыгнуть влево или вправо. Если игрок А бьет вправо и забивает, он получает 4 очка, если не забивает -5 очков. Если вратарь – игрок В прыгает влево и пропускает, то он теряет 3 очка, если он отражает, то получает 2 очка, если В прыгает вправо и пропускает, то он теряет 2 очка, если отбивает, то получает 4 очка.
Примечание.Лево и право рассматриваются относительно игрока А.
Решение.
л
п
л
п
B1
B2
B1
B2
А=
л
A1
-5
р
В=
л
А1
-2
p
п
A2
-2
1-р
п
А2
-3
1-p
q
1-q
q
1-q
Для м. (А):
= -5-6-4-2 = -17
= -2-6 = -8
(p-1)*(Cq-α) ≥ 0
p*(Cq-α) ≥ 0
(p-1)*(-17q+8) ≥ 0
p*(-17q+8) ≥ 0
1) p = 0, q ≤
2) p = 1, q =
3) 0 ≤ p ≤ 1, q =
Для м. (B):
= 2+2+3+4 = 11
= 4+3 = 7
(q-1)*(Dq-β) ≥ 0
q*(Dq-β) ≥ 0
(q-1)*(11p-7) ≥ 0
q*(11p-7) ≥ 0
1) q = 0, p ≤
2) q = 1, p =
3) 0 ≤ q ≤ 1, p =
1)
2)
3)
Ответ: Игроку А выгодно бить вправо, игроку В выгодно прыгать вправо.