ПОНЯТТЯ ПРО БЕЗМОМЕНТНУ ТЕОРІЮ ОБОЛОНОК. РОЗРАХУНОК ТОВСТОСТІННОГО ЦИЛІНДРА

14.1 Безмоментна модель осесиметричної тонкостінної оболонки

Нагадаємо, що оболонкою називають тіло, яке обмежене двома криволінійними поверхнями, відстань між якими – товщина оболонки , мала порівняно з іншими розмірами тіла. Ми будемо розглядати оболонки сталої товщини ( ).

Поверхня, яка поділяє товщину всюди навпіл, зветься серединною поверхнею. Геометрія оболонки визначається геометрією серединної поверхні і товщиною.

Тонкостінними називають такі оболонки, для яких відношення товщини до найменшого радіуса кривини поверхні є меншим, ніж 1/20, тобто

.

Якщо серединна поверхня оболонки отримана у результаті обертання кривої відносно деякої осі, то така оболонка називається оболонкою обертання. Оболонки обертання ще називають осесиметричними. До таких оболонок відносять циліндричні, конічні, сферичні, а також еліпсоїди, параболоїди тощо.

Модель тонкостінної оболонки базується на гіпотезах Кірхгофа–Лява:

- прямолінійний елемент, що є перпендикулярним до серединної поверхні, після деформації залишається прямолінійним і нормальним до серединної поверхні, а його довжина не змінюється;

- нормальними напруженнями на площадках, що паралельні до серединної поверхні, можна знехтувати.

Задачу про розрахунок осесиметричної тонкостінної оболонки вирішити найбільш просто, якщо припустити, що напруження розподіляються по товщині оболонки рівномірно, тобто згин оболонки відсутній. Теорію оболонок, що базується на цьому припущенні називають безмоментною. Для застосування цієї теорії необхідне виконання ряду умов:

- оболонка повинна мати плавні контури (без різких змін кривин чи товщини);

- граничні умови повинні бути такими, щоб реакції зводилися до сил, що діють в серединній поверхні;

- навантаження повинно плавно розподілятись по поверхні оболонки.

З погляду раціонального використання матеріалу конструкції безмоментний напружений стан є вигідним. Тому при конструюванні слід прагнути до створення умов при яких можна реалізувати безмоментний напружений стан.

14.2 Напруження в осесиметричній тонко-стінній оболонці. Розрахунок на міцність

Рисунок 14.1

На гранях цього елемента будуть діяти нормальні напруження: - поздовжнє, або меридіональне напруження; - поперечне, або колове напруження.

Позначимо через радіус кривини дуги меридіана, а через - радіус кривини нормального перерізу.

Складемо рівняння рівноваги виділеного елемента оболонки. Для цього всі сили, що діють на нього спроектуємо на напрям нормалі до поверхні елемента

.

(14.1)

Зважаючи на малість розмірів елемента приймемо:

;	(14.2)
, .	(14.3)

Підставивши (14.2) і (14.3) в (14.1), одержимо

.

(14.4)

коротивши (14.4) на та розділивши на , отримаємо рівняння Лапласа

.

(14.5)

Рисунок 14.2

Нехай розглядається частина оболонки, що заповнена рідиною чи сипучим матеріалом. При розрізі „по металу” прикладаємо напруження , при розрізі „по рідині” – тиск . Радіуси внутрішньої і серединної поверхні оболонки вважаємо приблизно однаковими. Умова рівноваги всіх сил в напрямку осі оболонки має вигляд

,

звідси

,

(14.6)

де - тиск всередині оболонки; - вага рідини чи сипучого тіла, що заповнює відрізаний об’єм; - вага відрізаної частини оболонки.

При розв’язанні практичних задач зручно користуватися двома теоремами, які ми приймемо без доведення.

Теорема 1. Якщо на довільну поверхню діє рівномірно розподілений тиск, то незалежно від форми поверхні, проекція рівнодійної сил тиску на задану вісь дорівнює добутку тиску на площу проекції поверхні на площину, що перпендикулярна до заданої осі.

Теорема 2. Якщо на довільну поверхню діє тиск рідини, то вертикальна складова сил тиску дорівнює вазі рідини в об’ємі, що розміщений над поверхнею.

Напруження і є головними. Третє головне напруження – перпендикулярне до поверхні оболонки і дорівнює (на тій поверхні, до якої прикладений тиск). Зазвичай це напруження значно менше і і ним нехтують, вважаючи, що матеріал оболонки перебуває в плоскому напруженому стані. Умови міцності, наприклад для пластичного матеріалу, набувають вигляду:

- третя теорія

або ;

(14.7)

- четверта теорія

.

(14.8)

При розрахунку резервуарів величину допустимих напружень встановлюють відповідно прийнятим в Україні нормам, що враховують марку сталі, конструктивні особливості резервуарів, температурний режим експлуатації, агресивність середовища тощо.

Задача Ляме

Рисунок 14.3

Розглянемо циліндр з внутрішнім і зовнішнім радіусами, що перебуває під дією внутрішнього і зовнішнього тисків (рис. 14.3)

Двома поперечними перерізами на віддалі, що дорівнює одиниці, виділимо з циліндра кільце, яке й надалі будемо розглядати.

Із цього кільця виділимо двома площинами, що проходять через його центр під кутом і двома співвісними циліндричними поверхнями з радіусами і , малий елемент (рис. 14.4,а).

Рисунок 14.4

Розглянемо статичний аспект задачі. З умови рівноваги проекцій зусиль на радіус кільця знаходимо

,

звідки, після нехтування добутком малих величин,

.

(14.9)

Рисунок 14.5

Тоді відносні лінійні деформації у радіальному і тангенціальному напрямках і виражаються через переміщення за формулами:

, .

(14.10)

Фізичний аспект задачі описується рівняннями закону Гука, які після підстановки в них значень відносних деформацій (14.10) розв’язуємо відносно напружень і

(14.11)

Підставляючи вирази для напружень (14.11) у рівняння статики (14.9), після перетворень приходимо до такого диференціального рівняння відносно невідомої

.

(14.12)

Розв’язок цього диференціального рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами (рівняння Ейлера) має вигляд

.

(14.13)

Підстановка виразу для у рівняння (14.11) приводить до таких виразів для напружень:

Сталі інтегрування і визначаємо з граничних умов на внутрішньому та зовнішньому контурах кільця

, .

Ці умови дають два рівняння:

з яких знаходимо

, .

(14.14)

Таким чином, формули для напружень і радіального переміщення остаточно набирають вигляду

,	(14.15)
.	(14.16)

Із формул для і видно, що їх сума – величина стала, тобто

Тому і відносна лінійна деформація кільця у напрямку осі циліндра – величина стала

.

Якщо при наявності днищ у циліндрі виникає паралельна до його осі поздовжня сила , то в його поперечних перерізах виникають напруження

,

(14.17)

а до виразу (14.16) для переміщення додається доданок

.

(14.18)

З погляду практичних розрахунків найбільш цікавим є випадок навантаження товстостінного циліндра лише внутрішнім тиском .

Тоді та і вирази для напружень (14.15) спрощуються

.

(14.19)

Епюри і для цього випадку показані на рис. 14.6. Напруження - розтягуючі, - стискуючі. Екстремальні значення цих напружень виникають на внутрішньому контурі циліндра, вони є найбільшим і найменшим головними напруженнями

, ,

де .

Рисунок 14.6

Перевірку міцності циліндра слід виконати за однією з теорій міцності залежно від властивостей матеріалу.

Припустимо, матеріал пластичний, тоді за третьою теорією міцності ,

або .

(14.20)

Якщо потрібно підібрати розміри циліндра, то, задаючись величиною одного з радіусів і відношенням , можна з формули (14.20) визначити необхідну величину другого радіуса циліндра.

З формули (14.20) видно, що навіть при відношенні (зовнішній радіус циліндра безмежно великий), ми не можемо допустити в циліндрі тиску більше ніж .

Отже, збільшення зовнішнього радіуса циліндра при великих товщинах його стінки дає незначний ефект щодо підвищення його міцності.

Поиск по сайту: