Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам и S эмпирического ряда.
При расчете теоретических частот за оценку математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик и S , т.е = 5,4426; S =0,167.
Теоретические частоты находят по формуле =n ;
где n - объем выборки;
- вероятность попадания значения нормально распределенной случайной величины в i -й интервал.
Вероятность определяется по формуле
= < )=
где Ф(t)= * - интегральная функция Лапласа - находится по таблице для
= , =
Для вычисления вероятности и теоретических частот составим таблицу 1.5.
Построим теоретическую нормальную кривую f(x) на рис.1.1. Для этого из середины частных интервалов восстановим перпендикуляры высотой /h (табл.1.5, графа 10), где = /n. На рис.1.1 концы этих перпендикуляров отмечены точками. Полученные точки соединены плавной кривой.
Сравнение гистограммы и теоретической нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределениями.
Типовой расчет №5
Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
Примечание. При использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим (n>50) и интервалы должны быть достаточно заполнены частотами. Если отдельные теоретические частоты на концах распределения окажутся малыми ( <5), то при вычислении необходимо объединить такие интервалы, сложив соответствующие частоты.
Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий , основанный на сравнении эмпирических частот с теоретическими , которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.
Значение - наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно
где к - число интервалов (после объединения), – теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления , сведем в таблицу 1.6.
Таблица 1.6
Вычисление критерия при проверке нормальности распределения объемов основных фондов
Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределения Хи-квадрат критическое значение ( , ) для числа степеней свободы =к-3 и заданного уровня значимости . Затем сравниваем и .
Если < , то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается (не противоречит опытным данным).
Если > ,то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки . Для нашего; примера =12,015, =0,05, =7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и (0,05;4)=9,5;
Так как > , то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе отвергается. Можно сделать вывод, что распределение объемов основных фондов 100 предприятия не является нормальным.
Вопросы для самопроверки
1. Перечислите основные задачи математической статистики.
2. Что называется генеральной совокупностью; случайной выборкой?
3. Что называется вариационным рядом распределения?
4. Как сделать предварительный выбор закона распределения генеральной совокупности по виду гистограммы и полигона относительных частот; по значениям выборочных коэффициентов ассиметрии и эксцесса?
5. Графикам каких функций в теории вероятностей соответствуют гистограмма и полигон относительных частот; кумулята?
6. Что называется эмпирической функцией распределения? В чем различие между эмпирической и интегральной функцией распределения?
7. На основании каких признаков или критериев можно произвести предварительный выбор закона распределения генеральной совокупности?
8. В чем состоит задача нахождения точечных оценок неизвестных параметров распределения?
9. Какая оценка параметра называется несмещенной; состоятельной; эффективной? Почему желательно, чтобы оценка была несмещенной и состоятельной?
10. Укажите точечные оценки неизвестных параметров нормального распределения генеральной совокупности.
11. Что называется статистической гипотезой?
12. Что называется параметрической; непараметрической статистической гипотезой?
13. Что называется ошибкой первого рода; ошибкой второго рода? Интерпретировать вероятности совершения ошибок первого и второго рода.
14. Как изменяется вероятность совершения ошибок второго рода при стремлении уровня значимости к нулю?
15. Что называется уровнем значимости ?
16. Что называется статистическим критерием?
17. Что называется критической областью статистического критерия? Как выбрать критическую область в зависимости от вида конкурирующей гипотезы?
18. Можно ли применяя статистический критерий значимости, сделать вывод: «Проверяемая нулевая гипотеза верна»?
19. Как находится критические точки для статистических критериев U, t, F, в случае двусторонней критической области; в случае правосторонней критической области?
20. Как проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласия Пирсона ?