Для вычисления средней арифметической, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса рекомендуется следующий порядок вычислений.
Заменяем интервальный ряд дискретным для чего, все значения признака в пределах интервала приравниваем к его срединному значению, и считаем, что частота относится к середине интервала. Значения середин интервалов равны =( + )/2.
Для удобства вычислений целесообразно составить вспомогательную таблицу 1.3. Значения середин интервалов заносят в графу I, соответствующие частоты в графу 2 и т.д.
В таблице ∆i = ( - )
Пользуясь таблицей 1.3, вычислим выборочную среднюю арифметическую:
= .
В нашем примере = 5,4426 млн.руб. и характеризует среднее положение наблюдаемых значений.
Выборочный центральный момент k-го порядка равен:
.
Таблица 1.3
Вспомогательная таблица для вычисления выборочных характеристик
Для проверки правильности вычисления должно выполняться равенство:
В нашем примере тождество выполняется. В итоговой строке столбца 4 табл.1.3 имеем 0
В данном примере μ2 =0,028, μ3=0,00164, μ4= 0,00283.
Выборочная дисперсия равна центральному моменту второго порядка:
= μ2
В нашем примере = 0,028. а выборочное среднее квадратическое отклонение S=√S2= 0,167 млн.руб.
Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Ек определяются по формулам
Ас = ;
Ас = 0,0586
Ек =-3
Ек= 3,6-3=0,6
Медиана Ме - значение признака x , приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений. При четном числе наблюдений медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда:
Ме=
Если ранжировать значения, попавшие в медианные интервал [5,43;5,54], – интервал, в котором накопленная частота mH впервые превышает половину объема выборки = 50, – до значение и , получим
Следовательно, Ме = (млн.руб.).
Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по формуле
Ме
где Ме означает номер медианного интервала, (Ме-1) - интервала, предшествующего медианному.
В нашем примере Ме = 5,43+ = 5,43+0=5,43 млн.руб.
Мода Мо для совокупности наблюдений равна тому значению признака (табл.1.1), которому соответствует наибольшая частота.
У нас вариант 5,43 имеет наибольшую частоту (m=34). Это означает, что Мо =5,43 млн.руб.
Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле:
Мо =
Где означает номер модального интервала (интервала с наибольшей частотой), -1 и +1 – номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов. В нашем примере
= 5,32 +
Так как , и Ме почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.
Коэффициент вариации:
= 100%=3,07%.
Коэффициент вариации используют для характеристики того, насколько средняя арифметическая хорошо представляет статистический ряд распределения. Если ряды имеют одинаковые средние, то средняя арифметическая ряда с меньшим коэффициентом вариации более предпочтительна. Будучи безразмерным, удобен для сравнений рядов распределения.