РУХ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ ПО КОЛУ

Для опису руху матеріальної точки по колу існує більш зручний спосіб, ніж викладені вище. Справа в тому, що положення точки М при заданому радіусі кола цілком визначається кутом, що утворює радіус-вектор , проведений із центра кола, з віссю Ох. Отже, якщо знайдена залежність , то тим самим буде знайдена залежність тому, що відомий модуль радіус-вектора і знайдений кут цілком визначають на площині.

Нехай радіус-вектор повернувся на кут , описавши своїм кінцем дугу . Приріст вектора при цьому буде дорівнювати . Введемо вектор елементарного повороту радіус-вектора , як вектор з модулем і напрямком , так, щоб вектори , та були зв’язані правилом векторного добутку векторів (рис.10). У цьому випадки маємо

Нехай матеріальна точка за час переміститься на . Тоді її радіус-вектор повернеться на кут . Величина

(25)

називається кутовою швидкістю обертання радіуса-вектора . Величина (26)

називається кутовим прискоренням обертання радіуса-вектора . Уведені тут фізичні величини – φ, , ε називаються кутовими

характеристиками руху.

1.5. ЗВ'ЯЗОК МІЖ КУТОВИМИ Й ЛІНІЙНИМИ

ХАРАКТЕРИСТИКАМИ РУХУ

Розділимо рівність на час dt, за який відбувся поворот на кут dφ. . Оскільки та , одержимо

(27)

Візьмемо першу похідну від (27) за часом.

Оскільки і , одержуємо вираз

(28)

Якщо лінійну швидкість подати через кутову , то другий доданок (за властивістю подвійного векторного добутку) приводиться до виду

, (29)

де круглими дужками позначається скалярний добуток векторів. Оскільки , то й з урахуванням одержимо . Отже рівність (29) можна подати у вигляді

(30)

Величину називають дотичним або тангенціальним прискоренням. Оскільки прискорення спрямовано по дотичній до траєкторії, то воно відповідально за зміну модуля швидкості. Величину називають доцентровим прискоренням. Це прискорення напрямлене нормально до вектора швидкості й, виходить, відповідально за зміну напрямку лінійної швидкості.

Формула (30) може бути одержана іншим шляхом. Нехай матеріальна точка за час перейшла з положення в положення . При цьому її швидкість змінилася від до . Розкладаючи на складові по напрямкам й , одержимо

З рис. 11 видно, що в силу подоби трикутників зі сторонами маємо , а оскільки , то після перетворень приходимо до виразу , або Оскільки (згадаємо що ), то ; з урахуванням того що антипаpалельно одержуємо .

Що стосується , то . Але змінення модуля швидкості обумовлені зміною швидкості обертання, тобто зміною кутової швидкості (при r=const). Це означає, з урахуванням , що . Отже

,

а з урахуванням напрямку векторів одержимо:

Сумарне прискорення матеріальної точки визначиться як

Знайдемо швидкість обертання деякого вектора. Нехай вектор за час повернувся на кут . Тоді, як видно з (рис.12), , а з урахуванням того, що й одержимо за правилом векторного добутку , що при розподілі на dt приводить до:

.

Ця формула використовується при знаходженні похідної за часом від одиничних векторів-ортів.

Поиск по сайту: