Властивості, що випливають із означення невизн. інт:
І. похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії:
ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.
ІІІ.
Властивості, що відображають основні правила інтегрування:
IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла.
V. Невизн. інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують.
Метод заміни
Мета – перетворити інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.
Теорема. Якщо f(x) – неперервна, а x=j(t) має неперервну похідну, то:
Наслідок.
Інтегрування частинам у визначеному інтегралі
Якщо функціяU i V неперервні на Х та диференційовані на цьому проміжку то
Інтегрування раціональних ф-ій
Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику, тобто n<m. Якщо ж n³m, то дріб неправильний.
Методика інтегрування раціональних ф-ій:
1. Якщо підінтегральна ф-ія – неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена і правильного раціонального дробу.
2. Знаменник правильного раціон. дробу розкладають на множники. По вигляду знаменника, правильний раціон. дріб представляють у вигляді найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.
3. Інтегрують цілу частину і найпростіші дроби.
Інтегрування тригонометричних функцій
Інтеграл вигляду sinnx×cosmxdx у випадку коли одне з чисел додатнє і непарне відчеплюють один множник від непарного степеня і виражають парний степінь за допомогою формули основною тригонометричної.
В інтегралах òsin2nx×cos2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня.
Поняття визначеного інтеграла
Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум Sn при lіà0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини Dхі, ні від вибору точок xі, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:
За означенням, визначений інтеграл – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування.
Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.
54.Обчислення визначених інтегралів. Формула Ньютона-Лейбніца.
Визначенні інтеграли можна обчислити за:
-формулою ньютона-лейбніца
-методом підстановки або заміни
-методом інтегрування частинами
Для обчислення визначеного інтеграла при умові існування первісної користуються формулою Ньютона-Лейбніца:
З цієї формули видно порядок обчислення визначеного інтегралу:
1. знайти невизначений інтеграл від даної функції;
2. в отриману первісну підставити на місце аргументу спочатку верхню, а потім нижню межу інтеграла;
3. знайти приріст первісної, тобто обчислити інтеграл