Інтегрування частинами. Теорема.Якщо функції і неперервно диференційовні, то має місце формула

Теорема.Якщо функції і неперервно диференційовні, то має місце формула

Якщо врахувати, що , то попередню формулу можна записати у вигляді

Отримана формула, що називається формулою інтегрування частинами, зводить відшукування первісної функції до відшукування первісної функції . Її застосування корисне тоді, коли друга задача більш проста. При обчисленні інтеграла за формулою інтегрування частинами підінтегральна функція подається у вигляді добутку , так, щоб множник при диференціюванні спрощувався, а первісна функції легко знаходилась.

Наведемо два розповсюджених види інтегралів, які обчислюються за формулою інтегрування частинами:

I. , ,

За тут приймається многочлен , а за – відповідно , , ;

II. , ,

За тут приймаються відповідно , , , а за – многочлен .

Приклад 2. Знайти інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Розв’язання.1) цей інтеграл відноситься до виду I:

Інтегрування підстановкою (заміна змінної)

Введення нової змінної інтегрування часто зводить розглядуваний інтеграл до табличного.

Нехай структура підінтегрального виразу в інтегралі є такою, що , тобто підінтегральний вираз містить складену функцію та диференціал Тоді робиться заміна змінної (підстановка)

.

Тут припускається, що функції неперервні і область значень функції збігається з областю визначення функції

Іноді використовують другу форму правила підстановки, коли явно виражається через нову змінну . Зробимо в інтегралі підстановку , де - неперервно диференційовна функція, така, що її область значень збігається з областю визначення функції . Тоді і правильною є формула

.

Підстановка підбирається таким чином, щоб первісну функції знайти було б нескладно. У результаті остаточно отримаємо

,

де є розв’язком рівняння .

Вкажемо корисні підстановки для таких інтегралів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Приклад 3. Знайти інтеграли:

1) ; 2) .

Розв’язання

У кожному з цих інтегралів зробимо підстановку . Тоді

1) ;

2) , .

Зокрема

, .

Приклад 4. Знайти інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Розв’язання

Усі ці інтеграли можуть бути зведені до модельних інтегралів з прикладу 3:

1) здійснимо підстановку . Отже,

;

2) виконаємо підстановку

;

3) здійснимо заміну змінної

;

4) виконаємо підстановку

;

5) ;

Визначений інтеграл

Поиск по сайту: