П.1 уравнение плоской гармонической волны

Пусть колебания частиц среды носят гармонический характер и распространяются вдоль оси .

Все точки волновой поверхности совершают колебания одинаковым образом. В то же время эти точки имеют одинаковые координаты и различные и .

Для того чтобы уравнение было справедливым для всех точек волновой поверхности необходимо, чтобы в нем не было зависимости от и ., т.е.

.

Пусть колебания точек в плоскости имеют вид:

,

.

Найдем колебания точек в плоскости с произвольной координатой .

Обозначим

- скорость распространения колебаний или скорость волны.

Для того, чтобы колебания от дошли до плоскости требуется время

.

Колебания точек, лежащих в плоскости будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости и будут иметь вид:

,

,

.

Здесь:

- амплитуда волны,

- круговая (циклическая) частота волны,

- частота волны,

- период колебаний, - фаза волны,

- начальная фаза источника волны,

Уравнение есть уравнение плоской гармонической волны.

Зафиксируем значение фазы

,

.

Для выполнения этого условия необходимо, чтобы с увеличением времени происходило увеличение значения , а это означает, что поверхность перемещается вдоль оси .

Продифференцируем по

,

,

.

Скорость распространения волны есть скорость перемещения поверхности постоянной фазы. Скорость волны называется фазовой скоростью.

Т.к. , то . Следовательно, уравнение описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси

,

,

.

Перепишем уравнение

.

Длиной волны называется расстояние, которое волна проходит за время, равное периоду колебаний

,

.

Волновым числом называется величина

, ,

,

.

Очевидное соотношение

.

Запишем уравнения, определяющие колебания в двух точках с координатами и

,

.

Разностью фаз колебаний точек среды называется величина

.

Вычислим величину

.

Обозначим

,

,

.

Рассмотрим два случая.

Пусть ,

.

Длина волны равна расстоянию между двумя ближайшими точками, лежащими на прямой вдоль которой распространяется волна, разность фаз колебаний которых равна .

Пусть теперь ,

.

Частицы совершают колебания с противоположными фазами. В случае если при распространении колебаний энергия волны поглощается средой, то амплитуда колебаний уменьшается и происходит затухание волны.

,

где - коэффициент затухания волны,

- амплитуда в точках плоскости .

Поиск по сайту: