В теории дифференциальных уравнений доказывается, что если
,
то решение имеет вид
,
.
В случае, если
,
то решением будет функция
.
Это решение не является периодическим и его называют апериодическим.
При в системе не могут возникнуть колебания. После отклонения из состояния равновесия система возвращается в это состояние, не совершая колебаний.
Условие перехода колебательного режима в периодический записывают так
.
Вынужденные колебания.
Вынужденными называют колебания, возникающие под влиянием внешнего переменного воздействия, которое называют вынуждающей силой.
Уравнение вынуждающих колебаний имеет вид:
.
Пусть:
,
,
,
, .
Решение уравнения:
.
Вынужденные колебания совершаются с частотой вынуждающей силы
,
.
Резонанс.
Резонансом называется явление возрастания амплитуды до максимального значения при изменении частоты вынуждающей силы.
П.1 Резонанс для смещения.
Найдем частоту, при которой амплитуда смещения достигает максимального значения
,
,
, ,
,
,
.
Величина называется резонансной частотой для смещения.
Найдем значение ,
.
Пусть затухание мало,
.
Найдем теперь значение при , т.е. когда действует постоянная вынуждающая сила
.
Найдем отношение:
,
.
П.2 Резонанс для скорости.
Запишем:
,
,
,
,
.
Найдем значение , при котором наступает резонанс скорости
,
.
Глава: Электромагнитные колебания.
Колебательный контур.
Присоединим заряженный конденсатор к катушке индуктивности, как показано на рисунке. В цепи возникают электрический ток, вследствие чего заряд на обкладках будет уменьшаться, уменьшается также и напряженность электрического поля. При это появляется магнитное поле. В момент, когда заряд конденсатора и электрическое поле между обкладками равны нулю, магнитное поле максимально. Затем, вследствие того, что ток продолжает течь в прежнем направлении, на обкладках конденсатора появляются заряды другого знака. Когда заряд конденсатора достигает первоначального значения сила тока в цепи равна нулю. Затем указания выше процессы протекают в обратном направлении и система приходит в исходное состояние, после чего все повторяется. Процессы изменения заряда, электрического поля, тока, магнитного поля и т.п. носят колебательный характер и называются электромагнитными колебаниями.
Электрическая цепь, в которой возникают электромагнитные колебания, называется колебательным контуром.
В любом колебательном контуре обязательно имеются конденсатор и катушка индуктивности.
Для анализа процессов в колебательном контуре можно применять закон Ома и уравнение Кирхгофа при условии, что токи, возникающие в контуре, удовлетворяют условию квазистационарности