Взаимно перпендикулярные колебания

Частица одновременно совершает колебания

,

.

Интерес представляет траекторию движения частицы, т.е. кривая, которую можно задать

.

в общем случае траектория представляет сложную кривую, которая называется фигурой Лиссажу. Рассмотрим случай колебаний с одинаковыми частотами

,

, .

В общем случае зависимость можно получить в виде

.

Проанализируем несколько случаев

.

, ,

, .

.

, ,

, .

.

.

Ангармонические (негармонические) колебания.

Дифференциальные уравнения полученные ранее, справедливы при выполнении условия малости колебаний. При этом решения уравнений оказываются гармоническими.

Рассмотрим математический маятник, для которого нельзя использовать условие малости отклонений от положения равновесия.

,

, ,

,

, .

Это нелинейное дифференциальное уравнение.

Запишем в виде ряда

.

Подставим в уравнение

,

.

Это дифференциальное уравнение ангармонических колебаний. Решение не является гармонической функцией и имеет вид:

,

- амплитуда,

- безразмерный параметр,

- круговая частота.

Если , то

.

Свободные затухающие колебания.

Пусть пружинный маятник совершает колебание в вязкой среде, где на него действует сила сопротивления среды

,

где - коэффициент сопротивления среды,

- скорость грузика.

Второй закон Ньютона для грузика

.

Проецируем на ось

,

.

Обозначим

,

,

,

.

Это дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

Здесь:

- коэффициент затухающих колебаний.

- собственная круговая частота маятника.

Решение уравнения имеет вид

,

,

.

Обозначим

.

Величина есть амплитуда затухающих колебаний.

Величина есть круговая частота затухающих колебаний.

Периодом затухающих колебаний называется величина

,

.

Энергия затухающих колебаний.

Полная энергия маятника равна

,

,

, ,

Обозначим

, , ,

,

,

,

, ,

,

,

.

Затухание колебаний считается малым, если выполняется условие

, .

При этом очевидно, что

,

, ,

,

, ,

, .

Здесь

.

Характеристики затухающих колебаний.

Запишем:

, .

Обозначим

, - время,

.

Положим: ,

, .

Время за которая амплитуда колебаний уменьшится в раз называется временем релаксации

.

Логарифмическим декрементом колебаний называется величина

,

,

.

Запишем:

,

где - число колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в раз.

Добротность называется величина

,

.

Ограничимся малым затуханием.

, , ,

,

, .

Поиск по сайту: