Период и частота колебаний

Возьмем приращение фазы колебаний

.

Пусть за отрезок времени приращение фазы оказалось равным . Обозначим

,

,

,

,

Отрезок времени, в течение которого приращение фазы колебаний составляет , называется периодом колебаний.

Величина есть период свободных гармонических колебаний.

Очевидно, что

.

Обозначим - смещение в момент . Найдем смещение в момент .

.

За время равное периоду колебаний система совершает одно колебание.

Величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний

, .

Частота колебаний численно равна числу колебаний, совершаемых системой в единицу времени, т.е. в 1 секунду.

Запишем:

.

В заключение дадим в виде таблички основные характеристики рассмотренных маятников.

, .

, .

, .

Кинематика и динамика свободных гармонических колебаний.

Будем для определенности рассматривать пружинный маятник.

Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид

,

,

,

.

Значение и можно найти из т.п. начальных условий, определяющих состояние системы в момент времени .

Скорость и ускорение грузика в проекции на ось .

,

,

,

,

,

.

Здесь - амплитуды скорости и ускорения грузика.

Проекция силы, действующей на грузик, на ось .

.

Сила называется возвращающей силой.

Кинетическая энергия маятника (грузика):

,

.

Потенциальная энергия упругой деформации пружины:

,

.

Полная энергия маятника

,

,

,

,

.

Полная энергия маятника, совершающего свободные гармонические колебания, остается постоянной.

Вектор – амплитуда.

Пусть частица совершает колебания вдоль оси . Положение равновесия частицы совпадает с началом оси . Частица совершает колебания по закону

.

построим окружность радиусом с центром в точке . Пусть некоторая точка движется по окружности как показано на рисунке с угловой скоростью равной . Проведем в точку радиус-вектор и обозначим его . Вектор вращается относительно точки с угловой скоростью .

Проекция конца вектора на ось равна

,

,

.

Сравнивая видим, что колебательному движению частицы вдоль оси можно сопоставить вращательное движение вектора , который называется вектором – амплитудой. Модуль вектора – амплитуды равен амплитуде колебаний частицы . Начальное положение вектора – амплитуды таково, что угол между вектором и осью равен начальной фазе колебаний . Вектор – амплитуда вращается с угловой скоростью, равной круговой частоте колебаний частицы. Угол между вектором и осью в любой момент времени равен фазе колебаний частицы. Проекция вектора – амплитуды на ось в любой момент времени равна координате частицы, совершающей колебания вдоль оси .

Поиск по сайту: