Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

П.3 Физический маятник



Часть: Колебания и волны.

Процессы, повторяющиеся во времени называются колебаниями или колебательными процессами.

Тело или система, участвующие в колебательном процессе, называются колебательной системой или осциллятором.

 

 

Глава: Механические колебания.

Маятники.

Рассмотрим три механические колебательные системы, которые называются маятниками.

П.1 Пружинный маятник.

Пружинный маятник представляет собой цилиндрическую пружинку жесткостью , закрепленную одним концом. К другому концу прикреплен грузик массой . Если оттянуть грузик и отпустить, то начнутся колебания. Выберем ось так, чтобы ее начало совпадало с положением груза когда пружина не деформирована.

Будем считать пружину невесомой, а силу тяжести, действующую на грузик много меньшей силы упругости пружины. Запишем уравнение 2-го закона Ньютона для грузика.

, .

Спроецируем на ось

,

, ,

где - деформация пружины и координата грузика

,

.

 

 

П.2 Математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити или невесомом подвесе.

Материальная точка массой подвешена на нити длиной . Пусть маятник движется, как показано на рисунке.

Обозначим:

- путь, пройденный материальной точкой, отсчитанный от положения равновесия 0 вдоль траектории.

Запишем 2-й закон Ньютона

.

Спроецируем уравнение на ось, совпадающую с направлением мгновенной скорости

.

Выразим угол через длину дуги длину маятника . Запишем

Далее

,

,

.

Пусть выполняется условие малых отношений маятника:

, , .

Тогда получим уравнение:

.

 

 

п.3 Физический маятник.

Твердое тело подвешено на горизонтальной оси и может свободно вращаться относительно нее. Точка называется точкой подвеса.

Если наклонить тело от вертикали, то начнется колебательное движение.

Обозначим - центр масс. Проведем отрезок и обозначим его длину . Проведем вертикаль через точку . Обозначим угол между вертикалью и , отсчитанный от вертикали . Масса тела равна .

Рассмотрим основное уравнение динамики твердого тела для указанного положения маятника

.

Направление оси вращения и вектора указано на рисунке.

Здесь:

- проекция момента силы относительно точки на ось вращения.

- момент инерции относительно той же оси.

Запишем:

, ,

,

,

 

.

Рассмотрим малые колебания, удовлетворяющие условию

, .

Тогда

.

 

 

Свободные колебания.

Колебания, возникающие в отсутствие переменных внешних воздействий на осциллятор, называются свободными.

Полученные выше уравнения можно записать в общем виде

,

где - величина, определяющая отклонение маятника от положения равновесия или смещение маятника,

- величина, характеризующая систему.

Решение уравнения ищем в виде:

,

,

, ,

, ,

где - мнимая единица.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

.

Итак, получим решение в виде

,

где , - некоторые константы.

После дальнейших преобразований можно привести к виду

.

Здесь:

- смещение осциллятора в момент ,

- амплитуда колебаний, ,

- круговая (циклическая) частота колебаний или собственная (круговая) частота системы, ,

- фаза колебаний, ,

- начальная фаза колебаний или фаза колебаний в начальный (нулевой) момент времени, .

Найдем модуль максимального смещения осциллятора.

.

Амплитуда колебаний численно равна модулю максимального смещения осциллятора от положения равновесия.

Для нахождения амплитуды и начальной фазы необходимо знать начальные условия, т.е. значение в момент , например, и .

,

,

,

.

Фазу колебаний будем обозначать:

.

Начальная фаза равна:

,

.

Функции в математике называются гармоническими. В дальнейшем будем использовать функцию, содержащую косинус.

 

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.