· механическая система, представленна на рис. 10а);
массы тел системы:
·
·
·
геометрические характеристики тел системы:
·
·
угловая скорость вращения тела 2 вокруг оси, проходящей через его центр масс
·
время после начала движения системы
Определить:
· закон изменения скорости тела 1 –
· закон движения тела 1 –
· закон изменения нормальной реакции опорной поверхности тела 1 –
· значения
Решение
1. Определим количество движения механической системы.
Тела 2, 3 и сосредоточенная масса 4, входящие в состав системы, при совершении телом 2 вращательного движения относительно оси, проходящей через точку перпендикулярно плоскости рисунка, совершают движения относительно тела 1. Если тело 1, не закрепленное в направлении оси , будет перемещаться со скоростью , то эта скорость для тел 2, 3 и точки 4 будет переносной скоростью
.
(34)
Рис. 10
Для определения количества движения отдельных частей системы и системы в целом необходимо знать абсолютные скорости движения центров масс каждого тела и их угловые скорости во вращательном движении относительно центра масс. Найдем скорости элементов системы в относительном движении, которые определяется угловой скоростью .
.
(35)
При повороте тела 2 на угол часть нити длиной наматывается на барабан, вызывая перемещение центра масс тела 3 в направлении параллельном наклонной плоскости .
Тогда
.
(36)
Скорости центров масс тел системы в абсолютном движении
,
(37)
что позволяет определить количество движения системы как сумму количеств движения всех элементов, входящих в систему
.
(38)
В произвольный момент времени, когда тело 2 в относительном движении повернулось на угол (здесь ), а тело 1, предположительно, сместилось вправо на расстояние , проекции количества движения системы будут равны (см. рис. 10с)):
на ось
(39)
на ось
(40)
2. Для определения функции, определяющей скорость тела 1 при движении по оси , воспользуемся теоремой об изменении количества движения в проекции на ось
.
(41)
Так как проекции на ось внешних сил , действующих на систему, равны нулю (см. рис. 10с), легко получить
.
(42)
В начальный момент времени ( ) система находилась в покое и . Следовательно, согласно закону сохранения количества движения из (39 ) с учетом (42 ) можно получить
(43)
После подстановки заданных значений с учетом зависимости , найдем
(44)
По определению
см/с.
(45)
Рис. 11
После интегрирования ( 44) с учетом начального условия ( ) получим
см.
(46)
Анализ формул (44) и (46 ) показывает, что скорость движения тела 1 меняется по гармоническому закону, а движение тела в направлении оси имеет монотонно возрастающую составляющую и составляющую, которая меняется по синусоидальному закону . Графики зависимостей и на отрезке времени ( 0< t <3 с ) представлены на рис. 11.
Скорость движения тела 1 изменяется по гармоническому закону относительно среднего значения 2,727 м/с; перемещение в направлении оси увеличивается, имея линейную составляющую и составляющую, которая меняется по синусоидальному закону . Влияние последней на перемещение с увеличением времени уменьшается.
3. Нормальную реакцию опорной поверхности найдем, если воспользуемся теоремой об изменении количества движения в проекции на ось (см. рис. 10с):
,
(47)
откуда следует
.
(48)
Используя выражение для (см. ( )), получаем
(49)
Как видно из формулы (49) изменение нормальной реакции не превышает по модулю 1,8Н. Для увеличения динамической составляющей нормальной реакции необходимо значительно увеличить неуравновешенную массу .
4. Для момента времени с находим
;
см;
(50)
см/с.
Задача 2
Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы (12) или в проекциях на оси декартовой системы координат (13).
При вычислении кинетического момента системы, вращающейся относительно оси , воспользуемся формулой (14), в которой осевой момент системы определим как сумму моментов инерции относительно оси тела 1 и расположенной на нем материальной точки .
Важно уяснить наличие двух разных этапов в движении системы (рис. 12):
на первом этапе происходит разгон системы при условии, что материальная точка относительно тела 1 остается неподвижной; здесь , т.к. моменты реакций связей, моменты сил тяжести тела 1 и материальной точки А относительно оси вращения равны нулю;
на втором этапе , когда двигатель выключается ( ), а материальная точка А начинает перемещаться относительно тела 1 по желобу за счет действия внутренних сил, кинетический момент системы относительно оси остается постоянным (закон сохранения кинетического момента (см. (16 а), (16 б)) и определяется как сумма кинетического момента тела 1 и кинетического момента
Рис. 12
материальной точки ; следует отметить, что осевой момент инерции движущейся материальной точки А, в этом случае, определяется ее положением на теле 1; изменение момента инерции точки А приводит к изменению угловой скорости вращения системы.
При вычислении моментов инерции тел рекомендуется пользоваться справочными данными, приведенными в табл. 1. Если тело составное (см. схему 9 рис. 8), то момент инерции можно определить, как сумму моментов инерции частей тела (полукруга и прямоугольника). Для вычисления масс каждой из частей тела необходимо удовлетворить двум условиям:
очевидно, что
(51)
в силу однородности тела 1 масса части пропорциональна ее площади