Теорема о движении центра масс

Центр масс материальной системы движется как материальная точка, масса которой равна массе материальной системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему

(3)

или в проекциях на оси декартовых координат

(4)

здесь

- масса k-ой точки материальной системы;

- масса материальной системы;

- ускорение центра масс системы;

рис. 2. К определению центра масс системы материальных точек

Центр масс материальной системы (рис. 2), как одна из характеристик пространственного размещения масс ее составляющих, есть геометрическая точка, положение которой определяется вектором

,

(5)

где

- радиус вектор, определяющий положение точки системы массой ;

- радиус вектор, определяющий положение центра масс системы – точки .

Как это следует из формулы (3), движение центра масс материальной системы зависит только от внешних сил, приложенных к системе. Внутренние силы, которые отсутствуют в формулировке теоремы, непосредственно на движение центра масс не влияют. Это обстоятельство значительно облегчает решение задач, так как внутренние силы системы большей частью бывают неизвестны.

Теорема об изменении главного вектора количества движения

Материальной системы

Теорема об изменении главного вектора количества движения материальной системы имеет дифференциальную и интегральную формы записи.

В дифференциальной форме записи теорема читается так:

производная по времени от вектора количества движения системы равна векторной сумме проекций всех внешних сил, действующих на систему

,

(6)

где

· - главный вектор количеств движения системы;

· - количество движения точки материальной системы;

· - масса системы;

· - вектор скорости точки материальной системы.

или в проекциях на оси декартовых координат

(7)

Интегральная форма записи теоремы:

изменение количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за то же время

(8)

или в проекциях на оси декартовых координат

(9)

где

· - импульс внешней силы, действующей на точку системы за время от до ;

· - проекция импульса внешней силы, действующей на точку системы за время от до , на ось ;

Внутренние силы системы не входят явно в теорему об изменении количества движения системы в любой из форм и, следовательно, не влияют непосредственно на изменение количества движения системы.

Из теоремы об изменении количества движения, следуют законы сохранения количества движения или проекции количества движения на ось:

если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения системы постоянно по величине и направлению

или

(10)

если проекция главного вектора внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения на ту же ось является величиной постоянной

(11)

Замечание. В неизолированной механической системе внутренние силы, вызывая движение отдельных частей системы вследствие взаимодействия с внешними телами или окружающей материальной средой, могут вызвать внешние силы в виде реакций связей или изменить величину активных сил, что может изменить количество движения системы. Количество движения системы может зависеть от внутренних сил только неявно, через внешние силы.

Поиск по сайту: