Тело D, имеющее форму прямоугольной пластины, показанной на рис. 4.2, массой =20 кг вращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью =2 с-1. При этом в точке M желоба AB тела D на расстоянии ÈAM= от точки A, отсчитываемом вдоль желоба, закреплена материальная точка K массой =8 кг. В момент времени на систему начинает действовать пара сил с моментом Нм. При t=t1=4 с действие пары сил прекращается; одновременно точка K начинает относительное движение по желобу согласно закону м.
Определить угловые скорости тела D соответственно в моменты времени и t=t2=5 с, если R=0,6 м, a=1,2 м; b=0,9 м
4.3.2. Решение примера
Запишем равенство, выражающее теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси z
, (4.1)
где - кинетический момент механической системы, состоящей в данном случае из кинетического момента тела D и кинетического момента точки К, относительно оси z;
- главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно оси z.
Рассмотрим движение системы в отрезке времени [0;t1].
В произвольный момент времени на систему действуют внешние силы , , , , , , , (рис. 4.3), главный момент которых относительно оси z равен вращающему моменту , то есть
. (4.2)
Кинетический момент данной системы равен сумме
,
где - кинетические моменты тела D и точки K относительно оси z.
Тело D вращается относительно неподвижной оси, поэтому
.
Здесь - угловая скорость тела, а - его момент инерции относительно оси z.
Момент инерции тела относительно оси , параллельной оси z и проходящей через центр масс О тела, определяется по формуле (табл. 4.2)
.
По теореме Штейнера
.
Таким образом
.
Кинетический момент материальной точки K, закрепленной в точке М желоба
.
Скорость точки К
.
Очевидно, что .
Согласно условию задачи длина дуги окружности , тогда центральный угол . Следовательно, в равнобедренном треугольнике ОМО1 и .
Имеем
.
Окончательное выражение кинетического момента системы относительно оси z следующее
(4.3)
Подставляя выражения (4.2) и (4.3) в равенство (4.1), имеем
,
откуда
.
Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем левую и правую части уравнения:
.
Тогда
с-1.
В момент времени t1 из выражения (4.3) имеем
Нмс.
Рассмотрим теперь движение системы в отрезке времени .
После прекращения действия момента на тело D, главный момент внешних сил относительно оси z (см. рис. 4.4).
Тогда равенство (4.1) примет вид
,
то есть .
Это означает, что кинетические моменты системы относительно оси в начале t1 и в конце t2 отрезка времени [t1; t2] равны
.
В момент времени t2 тело D вращается с угловой скоростью (см. рис. 4.4). При этом точка К, совершая сложное движение, оказывается в точке В желоба. Действительно, центральный угол
.
Кинетический момент системы относительно оси в конце t2 отрезка времени [t1; t2] также равен сумме кинетических моментов тела и точки :
.
Очевидно, что
По теореме о сложении скоростей:
,
где , , - абсолютная, относительная и переносная скорости точки.
Умножая обе части этого равенства на m2, получаем:
.
Следовательно, кинетический момент точки К в конце отрезка времени t2 равен сумме моментов векторов и относительно оси z
Относительная скорость точки К
.
При t=t2=5 c найдем величину относительной скорости точки К
м/с.
Переносная скорость точки К
.
Из прямоугольного треугольника О1ОВ по теореме Пифагора имеем:
.
Окончательно получаем
Тогда
Приравнивая и :
,
находим
с-1.
5. Задание №4. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Содержание задания
Механическая система, изображенная на рис. 5.1, приводится в движение из состояния покоя. При этом колесо В катится без скольжения по плоскости. Массы тел А, В и D ( , , ), заданная нагрузка ( и ) приведены в табл. 5.1. Радиусы колеса В и блока D соответственно равны м, м, м. Радиус инерции колеса В: м. Углы и имеют значения: , . Коэффициент трения качения колеса В равен ; коэффициент трения скольжения тела А равен .
Используя теорему об изменении кинетической энергии системы, определить скорость и ускорение тела А после того, как оно переместится на расстояние м. Блок D считать однородным сплошным диском; силами сопротивления движению, трением в подшипниках, массой троса, его растяжением и проскальзыванием по ободу блока пренебречь.