Розклад многочленів на множники

Тема 9. Многочлени. Ділення поліномів з остачею.

1. Многочлени над полем дійсних чисел. Основні поняття і означення.
2. Ділення многочленів з остачею.
3. НСД многочленів. Алгоритм Евкліда.
4. Многочлени над полем комплексних чисел. Теорема Вієта.
5. Розклад многочленів на множники. Основна теорема Алгебри.
6. Схема Горнера та її застосування.

Одночленом від невідомої x степеня n називається вираз вигляду:

axⁿ (1),

де a – стала, що належить або полю дійсних або полю комплексних чисел.

Многочленом над полем Р називається сума одночленів вигляду (1)

(2),

де a_i є P, .

Якщо a_n 0, то одночлен a_nxⁿ називають старшим членом, а показник степеня старшого члену n називають степенем заданого многочленна.

a_n – старший коефіцієнт

а₀ – вільний член

Позначають многочлени, як функції однієї змінної x.

Два многочленна називаються рівними, якщо виконуються дві умови:

1. рівність степенів многочленна
2. рівність коефіцієнтів при однакових степенях.

Нехай задано многочлен:

причому степінь f(x) n степеня g(x) m.

Сумою f(x) і g(x) є многочлен α(х) степеня n:

Приклад:

Добутком двох многочленів f(x) i g(x) називається многочлен

степінь

і так далі.

Многочлен f(x) ділиться з остачею на g(x), якщо степінь f(x) степеня g(x) і многочлен f(x) може бути представлений у вигляді

(3)

Де

f(x) - ділене

g(x) - дільник

q(x) - частка, якщо r(x)=0

q(x) - неповна частка, якщо r(x)≠0

r(x) - остача від ділення

Виконують ділення многочленів в стовпчик!

Кажуть, що f(x)ділиться націло на g(x), якщо r(x)=0

Виконати ділення:

1) 2)

3) 4)

Спільний дільник многочленів.

Спільним дільником f(x) і g(x) називається такий многочлен, який є дільником кожного із них. Якщо спільний дільник двох або більше многочленів = 1, то такі многочлени називаються взаємно простими.

Найбільшим спільним дільником двох многочленів є такий многочлен, який називається і для якого виконується умова:

1) d(x) є спільним дільником многочленів;

2) старший коефіцієнт = 1;

3) d(x) ділиться націло на будь-який інший спільний дільник.

Найбільший спільний дільник шукають двома методами:

1) Алгоритм Евкліда

2) Методом невизначених коефіцієнтів

Метод невизначених коефіцієнтів:

тоді і тільки тоді коли виконується умова:

Приклад. Методом невизначених коефіцієнтів підібрати многочлени u(x) та v(x), щоб найбільший спільний дільник f(x) і g(x) = 1

Алгоритм Евкліда

1.

ст. r(x) < g(x)

2.

ст. r₁(x) < r (x)

3. і т.д.

Приклади:

1) 2)

3) 4)

5)

Розклад многочленів на множники

Многочлен не 0 степеня називається незвідним над полем дійсних чисел, якщо він не розкладається в добуток многочленів нижчих степенів над цим полем.

Примітивним називається многочлен у якого старший коефіцієнт = 1, а сам многочлен є незвідним.

Дільниками незвідних многочленів є лише многочлени 0 степеня.

Незвідними над полем дійсних чисел є лінійні двочлени вигляду:

та квадратні тричлени від’ємного дискримінанта:

Поиск по сайту: