Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Свободные затухающие колебания. Коэффициент затухания, логарифмический декремент



 

В реальных условиях гармонические колебания практически не происходят. Взаимодействие колеблющейся системы со средой приводит к рассеянию,т.е. диссипации энергии колебаний. Энергия колебаний превращается во внутреннюю энергию среды. Колебания затухают.

Выведем на примере механических колебаний дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

При наличии сопротивления среды на материальную точку, совершающую колебания, действуют : - возвращающая (квазиупругая) сила и - сила сопротивления.

По второму закону Ньютона имеем:

max = Fx + Fсопр.х (5.6.1)

При небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна скорости материальной точки : или в проекции на ось Х:

, (5.6.2)

где r-коэффициент сопротивления среды.

Проекция возвращающей силы на ось Х равна по закону Гука:

, (5.6.3)

где k - коэффициент жесткости пружины.

Подставляя (5.6.2) и (5.6.3) в (5.6.1), перенесем все слагаемые в левую часть и все разделим на m. Обозначим:

и , .

Получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

(5.6.4)

Решение этого уравнения имеет вид:

(5.6.5)

 

Колебания, происходящие по описанному выше закону, называются затухающими.

Величина называется амплитудой затухающих колебаний.

Промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз (е – основание натурального логарифма), называется временем релаксации . Легко показать, что

(5.6.6)

Следовательно, коэффициент затухания - это величина, обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз (т.е. времени релаксации).

 

График затухающих колебаний , описываемых уравнением (5.6.5) показан на рис. 5.11. Пунктиром показана зависимость амплитуды колебаний от времени.

 

Затухающие колебания происходят с частотой , отличающейся от частоты собственных незатухающих колебаний .

Частота затухающих колебаний системы связана с частотой незатухающих колебаний этой же системы соотношением:

. (5.6.7)

Затухание нарушает периодичность колебаний и, строго говоря, к ним не применимо понятие периода и частоты. Однако, если затухание мало ( ), то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (минимумами) колеблющейся физической величины.

Тогда период затухающих колебаний равен

(5.6.8)

При увеличении сопротивления среды период Т становится все больше и при он обращается в , т.е. движение перестает быть периодическим. Система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим.

Логарифм отношения амплитуд двух последовательных колебаний называется логарифмическим декрементом затухания.

Он равен: (5.6.9)

За время релаксации система совершает колебаний. Используя (5.6.6.) и (5.6.9.), имеем: . Следовательно,

.

Т.е. - величина, обратная числу колебаний, совершаемых за время релаксации.

 

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.