Космонавт A какое-то время, находясь в точке A, покоился относительно Земли, как, впрочем, и космонавт B. Начало движения всегда сопряжено с ускорением. Ускоренное движение – это трудное место в специально теории относительности. Свою первую работу по специальной теории относительности Эйнштейн опубликовал в 1905 году. В этой работе Эйнштейн, в частности, делает вывод, что если некоторые часы из произвольной точки A были перенесены по произвольной замкнутой кривой, и опять были возвращены в исходную точку, то они отстанут от других таких же часов, которые все это время покоились в точке A. Поль Ланжевен в 1912 году, как мы уже отмечали, получает из этого результата парадокс близнецов. Эйнштейн в 1918 году публикует статью, в которой он в популярной форме объясняет этот парадокс. В этой статье Эйнштейн утверждает, в частности, что для разрешения парадокса близнецов необходимо привлекать общую теорию относительности.
Я не думаю, что этот совет нам чем-то поможет: общая теория относительности принципиально более сложная теория. Если мы для объяснения сравнительно простой задачи обратимся к общей теории относительности, мы окончательно запутаемся. Как и прежде мы будем пользоваться только элементарными приемами, но мы должны сознавать, что возможно не все, что мы делаем, выглядит в достаточной степени корректно.
Введем вспомогательную систему отсчета, которая движется со скоростью по направлению от A к B.
Если мы перейдем на эту систему, то увидим, что Земля вместе с находящимися в точках A и B кораблями движется на нас со скоростью . Расстояние же между Землей и кораблями при этом сократится до . Но самое интересное, что мы увидим, это то, что часы в точках A, B и C показывают разное время. Часы B опережают часы C, а часы C опережают часы A на
по часам вспомогательной системы.
При этом , следовательно, .
Раз часы в точке B опережают, то корабль B начнет движение на раньше, чем корабль A. Все это время корабль A будет продолжать оставаться в точке A и двигаться с одной скоростью вместе с Землей. Корабль B во вспомогательной системе будет двигаться со скоростью,
которую можно вычислить по релятивистской формуле сложения скоростей .
Так как точка C (точка встречи кораблей) во вспомогательной системе движется со скоростью , то корабль B к ней приближается со скоростью
.
Чтобы достичь точки C ему понадобится время
, измеренное по часам вспомогательной системы.
По часам же космонавта B пройдет при этом
.
Подставляя значение для , получим
.
Через после начала движения корабля B начнет движение корабль A. С точки зрения вспомогательной системы это будет означать, что корабль A относительно нее остановится, и расстояние между кораблем и Землей начнет сокращаться со скоростью .
От начала старта корабля A и до встречи его с кораблем B в точке C по часам вспомогательной системы, а значит и по часам космонавта A пройдет времени
.
Мы получили, что часы обоих космонавтов в точке их встречи показывают одинаковое время . Таким образом, мы можем сказать, что точки зрения земного наблюдателя и наблюдателя A относительно показаний часов космонавтов совпали. Очевидно, что для космонавта B мы получим тот же самый результат.
Свой путь до точки C космонавт A преодолел за
, а космонавт B на это потратил , то есть на
больше.
Но именно на это значение он стартовал раньше, следовательно, они действительно встретятся в точке C.
Какой вывод мы можем сделать из этого? Парадокса не получилось. Мнения всех наблюдателей совпали.
Аналогичным образом можно проанализировать и начальный этап развития событий, на котором космонавты добираются до пунктов A и B. Если решить задачу полностью, то мы снова получим, что тот близнец, который все время оставался на Земле окажется старше, а оба брата космонавта будут моложе и одного возраста.