Властивості мішаного добутку векторів

1. ♦ Мішаний добуток дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли співмножники компланарні.

2. ♦ Якщо в правому в ортонормованому базисі , вектори , , , то мішаний добуток векторів

.

3. ♦ Базис є правим тоді і тільки тоді, коли мішаний добуток .

4. ♦ Якщо в мішаному добутку два множники однакові, то він дорівнює .

5. ♦ Якщо вектори записані у вигляді: ; ; , то

.

6. ♦ Об’єм паралелепіпеду, побудованого на некомпланарних векторах , , , (рис. 2.12) дорівнює модулю мішаного добутку цих векторів.

7. ♦ Мішаний добуток лінійний по кожному з співмножників.

2.3.4. Мішаний добуток векторів в координатній формі. Умова компланарності векторів

Нехай дані вектори , , .Знайдемо спочатку проекції векторного добутку , вони дорівнюють:

;

.

Знаючи проекції векторного добутку і проекції співмножника , знайдемо їх скалярний добуток

.

Права частина цієї рівності являє собою розклад визначника третього порядку

.

Використовуючи необхідна і достатня умова, що до компланарності векторів , і запишеться у вигляді:

.

Задача. Дано координати вершин піраміди: , , , .

Потрібно: 1) записати вектори , і в системі орт і знайти модулі цих векторів; 2) знайти кут між векторами і ; 3) знайти проекцію вектора на вектор ; 4) знайти площу грані ; 5) знайти об’єм піраміди .

Розв’язання.

1. Відомо, що довільний вектор може бути представлений у системі орт , , за формулою:

, (1)

де – проекції вектора на координатні осі , а , і – одиничні вектори, напрямки яких збігаються з додатними напрямками осей , і .

Якщо дані точки і , то проекції вектора на координатні осі знаходяться за формулами:

; ; (2)

і

. (3)

Підставляючи в (3) координати точок і , одержимо:

.

Аналогічно, підставивши в (3) координати точок і знаходимо:

,

і , знаходимо:

.

Відомо, що модуль вектора , заданого в системі орт формулою (1), обчислюєтьсяза формулою:

. (4)

Застосовуючи (4), одержимо:

;

;

.

2. Відомо, що косинус кута між двома векторами дорівнює скалярному добуткові цих, векторів, поділеному на добуток їхніх модулів. Отже,

.

3. Запишемо скалярний добуток векторів і :

.

Оскільки добуток виражає собою проекцію вектора на вектор , то маємо

,

відкіля

.

Вектори і , а також модуль вектора знайдені раніше в п. 1. Підставляючи ці дані в (5), одержимо

.

Таким чином, проекція вектора на вектор дорівнює .

4. Площа грані дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . Позначимо векторний добуток вектора на вектор через вектор . Тоді, як відомо, модуль вектора виражає собою площу паралелограма, побудованого на векторах і .

Отже, площа грані дорівнює половині модуля вектора ,тобто

.

;

;

(од.²)

Відомо, що об’єм паралелепіпеда, побудованого на трьох некомпланарних векторах, дорівнює абсолютній величині їхнього мішаного добутку. Якщо вектори, що перемножуються, розкладені по ортонормованому базису

; ; ,

то мішаний добуток цих векторів знаходиться за формулою

. (6)

Застосовуючи (6), визначимо мішаний добуток векторів , і .

.

Отже, об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і , дорівнює . Оскільки об’єм шуканої піраміди дорівнює одній шостий об’єму знайденого паралелепіпеда, то

.

Питання для самоконтролю:

1. Скалярні та векторні величини. Лінійні дії з векторами: додавання, віднімання, множення вектора на число. Проекції вектора на осі.

2. Лінійна залежність та незалежність векторів. Базис. Розкладання вектора по ортонормованому базису. Довжина вектора. Напрямні косинуси вектора.

3. Лінійні дії з векторами, заданими розкладом в ортонормованому базисі. Поділ відрізка в даному відношенні. Умови колініарності векторів.

4. Скалярний добуток векторів, його означення, фізичний зміст, властивості.

5. Скалярний добуток векторів в координатній формі. Умови перпендикулярності двох векторів. Кут між векторами.

6. Векторний добуток векторів, його означення, фізичний зміст, властивості.

7. Векторний добуток векторів в координатній формі.

8. Мішаний добуток векторів, його геометричний зміст і властивості.

9. Мішаний добуток векторів в координатній формі. Умова компланарності трьох векторів.

Тести до розділу 2

1. Вказати формулу скалярного добутку векторів, заданих координатами:

а) ; б) ; в) .

2. Вказати формулу косинуса кута між векторами

а) ; б) ; в) .

3. Якими повинні бути вектори і , щоб мало місце співвідношення:

.

4. З’ясувати, які з наведених трійок векторів утворюють базис в просторі :

1) , , ;

2) , , ;

3) , , .

5. Дано точки , , , . Чи можуть вони бути вершинами трапеції?

6. При якому значенні вектори і перпендикулярні?

7. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах , .

8. Знайти роботу сили при переміщенні її на відстань , якщо , , .

9. Обчислити площу трикутника , якщо відомі координати його вершин: , , .

10. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , , .

Відповіді: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

Поиск по сайту: