Зв’язок між розв’язками однорідних і неоднорідних систем рівнянь

Встановимо зв’язок між розв’язками однорідних і неоднорідних систем рівнянь.

Нехай задана система неоднорідних лінійних рівнянь

(2)

Систему однорідних рівнянь (1), що одержимо із системи(2), унаслідок заміни вільних членів нулями, називають приведеною системою для системи (2).

Залежність між розв’язками систем (1) і (2) виражається наступними теоремами:

Теорема. Сума довільного розв’язку (2) і розв’язку (1) є розв’язком системи (2).

Доведення.

Дійсно, нехай – розв’язок системи (2), – розв’язок системи (1). Візьмемо яке-небудь рівняння системи (2), наприклад - е і підставимо в нього замість змінних числа . Отримаємо

.

Теорема доведена.

Теорема. Різниця двох довільних розв’язків системи (2) є розв’язком приведеної системи (1).

Доведення.

Дійсно, нехай і розв’язки системи (2). Візьмемо яке-небудь рівняння системи (1), наприклад -е і підставимо в нього замість невідомих числа . Отримаємо

.

Теорема доведена.

З теорем випливає: визначивши деякий частинний розв’язок системи неоднорідних рівнянь (2) і склавши з ним кожний розв’язок приведеної системи (1), одержимо всі розв’язки системи (2). Таким чином, загальний розв’язок неоднорідної системи (2) дорівнює сумі якого-небудь частинного розв’язку цієї системи і загального розв’язку приведеної системи (1).

Приклад. Знайти загальний розв’язок і фундаментальну систему розв’язків однорідної системи.

Розв’язання.

.

.

Запишемо перші два рівняння системи:

, тоді

Загальний розв’язок системи буде:

Розглянемо вектори , і .

Тоді ,

.

Отже, розв’язки , і є фундаментальними розв’язками системи розв’язків.

Питання для самоконтролю:

1. Матриці. Основні поняття. Види матриць.

2. Дії з матрицями.

3. Визначники квадратних матриць. Визначники 2-го та 3-го порядку.

4. Мінори і алгебраїчні доповнення.

5. Властивості визначників.

6. Особливі і неособливі матриці. Обернена матриця.

7. Ранг матриці. Властивості рангу.

8. Елементарні перетворення матриці. Обчислення рангу матриці.

9. Системи лінійних рівнянь. Основні поняття і означення.

10. Система лінійних рівнянь з невідомими. Матричний метод і формули Крамера для розв’язання систем лінійних рівнянь.

11. Метод Гаусса.

12. Система лінійних рівнянь з невідомими. Основні питання теорії лінійних рівнянь.

13. Умови сумісності та несумісності лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі.

14. Однорідні системи лінійних рівнянь. Теорема про наявність ненульового розв’язку однорідної системи.

15. Зв’язок між розв’язками неоднорідних та однорідних систем рівнянь.

Тести до розділу 1

1. Дано матриці і . З’ясувати, які з наступних операцій можна виконувати:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

2. Дано матриці: ; . Знайти .

3. Дана матриця . Знайти матрицю .

Відповідь: , де ; ; ; .

4. Дана матриця . Знайти визначник матриці .

5. З’ясувати, які з наведених нижче матриць мають обернені:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

6. При якім значенні матриця буде дорівнювати матриці , де ?

7. Знайти суму діагональних елементів матриці , де ; ; .

8. Розташувати матриці в порядку спадання їх рангів:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

9. Скільки лінійно незалежних рядків має матриця , де

; ; ?

10. Розв’язати рівняння: .

Відповіді: 1. ; ; . 2. . 3. ; ; ; . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. ; ; ; . 9. . 10. ; .

Поиск по сайту: