1. Обчислюючи ранги основної і розширеної матриці системи, з’ясовують питання про її сумісність. Якщо система сумісна, то знаходять який-небудь базисний мінор порядку .
2. Береться рівнянь, з коефіцієнтів яких складений базисний мінор; інші рівняння відкидають. Невідомі, коефіцієнти які входять у базисний мінор, називають головними і залишають ліворуч, а інші невідомих називають вільними і переносять у праві частини рівнянь.
3. За правилом Крамера або методом Гаусса знаходять значення головних невідомих через вільні. Отримані рівності являють собою загальний розв’язок системи.
4. Надаючи вільним невідомим будь-які числові значення, знаходять відповідні значення головних невідомих. Тим самим знаходять часткові розв’язки даної системи рівнянь.
Приведена схема не означає, що для розв’язку системи (1) у загальному випадку необхідно обчислювати окремо, а потім порівнювати ранги матриці системи і розширеної матриці . Досить відразу застосувати метод Гаусса.
Перевага методу Гаусса в порівнянні з іншими методами:
· значно менш трудомісткий;
· дозволяє однозначно встановити, сумісна чи ні система, а у випадку сумісності знайти її розв’язок (єдиний або нескінченна множина);
· дає можливість знайти максимальне число лінійно незалежних розв’язків – ранг матриці системи.
Приклад. Методом Гаусса розв’язати систему:
Розв’язання. Перетворимо розширену матрицю системи (для зручності обчислень беремо як перший рядок коефіцієнти другого рівняння, у якому коефіцієнт при дорівнює ).
Таким чином, ранг матриці системи .
Залишаємо в лівій частині змінні , котрі беремо за основні (визначник з коефіцієнтів при них (базисний мінор) відмінний від нуля, тобто ). Інші неосновні змінні , переносимо в праві частини рівнянь. У результаті одержуємо систему
Звідси
і
.
Задаючи неосновним змінним довільні значення , знайдемо нескінченну множину розв’язків системи ( ; ; ; ).
Приклад. Знайти всі базисні розв’язки системи попереднього приклада.
Розв’язання. Ранг матриці системи , отже, одне з рівнянь системи, наприклад, третє можна відкинути.
Загальне число груп основних змінних не більше ніж , тому можливі наступні групи основних змінних: ; ; ; ; ; .
З’ясуємо, чи можуть змінні бути основними.
Оскільки визначник матриці з коефіцієнтів при цих змінних, тобто базисний мінор , то можуть бути основними змінними. Міркуючи аналогічно, знайдемо, що з усіх можливих груп основних змінних тільки змінні не можуть бути основними, тому що .
Знайдемо перший базисний розв’язок, взявши в якості основних змінних , а в якості неосновних . Прирівнюючи неосновні змінні до нуля, тобто , одержимо систему рівнянь у виді: , звідси ; , таким чином, перший базисний розв’язок .