Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Матриці. Основні поняття. Види матриць



Однією з найважливіших задач математики є дослідження і розв’язання систем рівнянь першого степеня. Нехай система містить невідомих , що зв’язують рівнянь - го степеня (число рівнянь може не співпадати з числом невідомих). В загальному вигляді цю систему можна записати так:

 

Матрицею розміру називається прямокутна таблиця чисел, яка має рядків і стовпців. Числа, які складають матрицю, називаються елементами матриці.

Матриці позначаються прописними (заголовними) буквами латинського алфавіту: ,..., а для позначення елементів матриці використовуються малі (рядкові) літери з подвійною індексацією: , де – номер рядка, – номер стовпця.

Наприклад, матриця

(1)

або в скороченому запису: , ; .

Наприклад,

.

Поряд з круглими дужками використовуються і інші позначення матриці:

, .

Дві матриці й одного розміру називаються рівними, якщо вони співпадають почленно тобто: для ; ( – квантор загальності – означає для будь-яких).

Матриця , що складена з коефіцієнтів при невідомих системи, називається основною матрицею системи. Таблицю

 

, (2)

яка містить і стовпець з вільних членів системи, називають розширеною матрицею системи.

Види матриць

Матриця, що складається з одного рядка – називається матрицею-рядком (вектор-рядком), а з одного стовпця – матрицею-стовпцем (вектор-стовпцем).

Наприклад,

– матриця-рядок;

– матриця-стовпець.

Матриця називається квадратною -го порядку, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює . Наприклад,

– квадратна матриця третього порядку.

Число рядків, (а отже і число стовпців) квадратної матриці називаєтьсяпорядком матриці.

Елементи матриці , у яких номер стовпця дорівнює номеру рядка , називаються діагональними й утворюють головну діагональ матриці.

Для квадратної матриці головну діагональ утворюють елементи .

Якщо всі недіагональні елементи квадратної матриці дорівнюють нулю, то матриця називається діагональною. Наприклад,

 

– діагональна матриця третього порядку.

Якщо в діагоналі матриці -го порядку всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною -го порядку, вона позначаються буквою .

 

– одинична матриця третього порядку.

 

Матриця будь-якого розміру називається нульовою або нуль-матрицею, якщо всі елементи дорівнюють нулю:

.

 

Дії над матрицями

Над матрицями, як і над числами, можна робити ряд операцій, причому деякі з них аналогічні операціям над числами, а деякі – специфічні.

 

1) Множення матриці на число

Добутком матриці на число (лямбда) називається матриця , елементи якої , для ; .

Наприклад, якщо , то .

Наслідок. Загальний множник всіх елементів матриці можна виносити за знак матриці. Наприклад,

.

В окремому випадку, добуток матриці на число є нульова матриця, тобто .

 

2) Додавання матриць

Сумою двох матриць і однакового розміру називається матриця , елементи якої , для ; (тобто матриці складаються поелементно).

Наприклад, , , тоді .

 

3)Віднімання матриць

Різниця двох матриць однакового розміру визначається через попередні операції:

.

 

4) Множення матриць

Множення матриці на матрицю визначено, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої (В цьому випадку матриця називається погодженоюз матрицею ).

Тоді добутком матриці називається така матриця , кожен елемент якої , дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці на відповідні елементи -го стовпця матриці :

,

де ; .

Приклад. Обчислити добуток матриць , де .

Розв’язання.

а) Знайдемо розмір матриці-добутку (якщо добуток матриць можливий):

 

;

б) Обчислимо елементи матриці-добутку , помноживши елементи кожного рядка матриці на відповідні елементи стовпців матриці :

 

.

 

Багато властивостей, які належать до операцій над числами, справедливі і для операцій над матрицями (що випливає з означення цих операцій).

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

 

Однак є і специфічні властивості матриць. Так, операція множення матриць має деякі відмінності від множення чисел:

а) Якщо добуток матриць існує, то після перестановки співмножників місцями добуток матриць може і не існувати. Дійсно, в останньому розглянутому прикладі отримали добуток матриць , а ось добуток не існує, оскільки число стовпців першої матриці не співпадає з числом рядків другої матриці.

б) Якщо навіть добутки і існують, то вони можуть бути різних розмірів.

 

Приклад. Знайти добуток матриць і , якщо , .

Розв’язання.

; , отже, .

 

в) У випадку, якщо обидва добутки і існують й обидва мають матриці однакового розміру (це можливо тільки при множенні квадратних матриць і однакового порядку), комутативний (переставний) закон множення, узагалі говорячи, не виконується, тобто .

В окремому випадку комутативним законом володіє добуток будь-якої квадратної матриці -го порядку на одиничну матрицю того ж порядку, причому цей добуток дорівнює :

.

Таким чином, одинична матриця відіграє при множенні матриць ту ж роль, що й число при множенні чисел.

г) Добуток двох ненульових матриць може дорівнювати нульовій матриці, тобто, з того, що не випливає, що матриця , або матриця .

 

Наприклад,

, але .

 

5). Піднесення до степеня

Цілим додатним степенем квадратної матриці називається добуток матриць, які дорівнюють .

.

Операція піднесення до степеня визначається тільки для квадратних матриць.

За означенням маємо . Неважко показати, що , .

Приклад. Знайти , де .

Розв’язання. .

Варто відмітити, що з рівності , ще не випливає, що .

 

6). Транспонування матриці

Транспонуванням матриці називається перехід від матриці до матриці , у якій рядки і стовпці помінялися місцями зі збереженням порядку.

З означення випливає, що якщо матриця має розмір , то транспонована матриця буде мати розмір .

 

Властивості операції транспортування:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

 

 

Визначники

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.