работа внешних сил первого состояния на перемещениях второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещениях, вызванных силами первого состояния

Для доказательства теоремы нагрузим балку силами F₁ и F₂, прикладывая их в разной последовательности.

1. Вначале приложим нагрузку F₁, а затем к деформированной балке приложим силу F₂ (рис. VII.17, а).

Подсчитаем работу, произведенную при этом внешними силами.

Работа, произведенная силой F₁, на собственном перемещении , вызванном этой силой, [см. формулу (II.44)]. Работа, произведенная силой F₂ на собственном перемещении , .

Дополнительная работа силы F₁ на перемещении вызванном силой F₂,

.

Обращаем внимание на то, что при вычислении W₁₂ множитель 1/2 отсутствует, так как сила F₁ на перемещении совершает работу, оставаясь постоянной.

Полная работа, совершенная внешними силами при первом способе (последовательности) нагружения,

W_I = W₁₁ + W₂₂ + W₁₂.

Работа W₁₂, фактически совершаемая силой на перемещениях, вызванных другой силой (силами), называется дополнительной работой. Однако эта работа может и не совершаться, а может рассматриваться лишь как возможная, т. е. такая, которая будет произведена, если нагрузить систему сразу обеими нагрузками. Такую работу называют виртуальной (возможной) работой.

При дальнейших выкладках не будем делать различия межle дополнительной и виртуальной работой.

2. Нагрузим теперь балку в другой последовательности: вначале приложим силу F₂, а затем силу F₁, (рис. VII. 17, б). Работа, произведенная силой F₂, на собственном перемещении

Работа, произведенная силой , на собственном перемещении

Работа, произведенная силой F₂ на перемещении

Полная работа при втором способе нагружения

W₁₁ = W₂₂ + W₁₁ + W₂₁.

Однако работа сил не зависит от порядка их приложения. Следовательно,

W_I = W_II, откуда получим

W₁₂ = W₂₁, (VII.30)

или для рассматриваемого случая

(VII.31)

Этим доказана сформулированная выше теорема о взаимности виртуальных работ внешних сил. Мы доказали ее на примере сосредоточенных внешних нагрузок. Однако теорема остается справедливой и для любой внешней нагрузки: сосредоточенной, распределенной, внешних моментов. Следует только иметь в виду, что работа моментов вычисляется уже не на линейных, а на угловых перемещениях.

Аналогичным образом может быть доказана также взаимность виртуальной работы внутренних сил:

. (VII.32)

Виртуальная работа, например , для элемента балки длиной dz по абсолютному значению равна (рис. VII.17, в, г)

(VII.33)

Из чертежа видно, что

Но 1/r₂ = М₂/(EI) [см. формулу (VII.1)]. Следовательно, , а поэтому

Виртуальная работа для всей балки длиной

(VII.34)

где М₁ и М₂ — текущие значения изгибающих моментов в первом и втором состояниях.

Обращаем внимание на то, что в этой формуле, так же как и при вычислении виртуальной работы внешних сил, нет множителя 1/2.

Аналогичным путем можно показать, что работа внутренних сил второго состояния на перемещениях, вызванных внутренними силами первого состояния, может быть вычислена по формуле

(VII.35)

Сравнивая выражения (VII.34) и (VII.35), видим, что действительно

ввиду того что

.

Этим доказана взаимность виртуальной работы внутренних сил.

Используя закон сохранения энергии, можно показать, что дополнительная работа внешних сил равна по абсолютному значению дополнительной работе внутренних сил:

Действительно, при нагружении системы силой F₁ внешние силы совершают работу , а внутренние силы совершают работу (см. § 57)

В силу закона сохранения энергии имеем

При последующем нагружении системы силой F₂ аналогично имеет место равенство

Кроме того, при нагружении системы силой F₂ совершается дополнительная работа силой F₁,

и внутренними силами

На основании закона сохранения энергии работа W₁₂ должна быть равна работе : (VII.36)

аналогично,

из сказанного следует также, что

(VII.37)

Эти соотношения будут использованы далее для обоснования общего метода определения перемещений (метода Мора).

Из теоремы о взаимности работ как частный случай следует другая важная теорема о взаимности перемещений(теорема Максвелла).

Принимая F₁ = F₂ = 1, получим из теоремы Бетти по формуле (VII/31)

(VII.38)

Здесь перемещения, вызываемые силами, равными единице (единичными силами), обозначают и т.д. взамен и т.д., принятых для перемещений от любых сил.

Перемещение точки приложения единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по направлению последней, вызванному действием первой единичной силы.

§ 62. Определение перемещений методом Мора. Правило Верещагина

Рассмотрим теперь общий метод определения перемещений, пригодный для любой линейно-деформируемой системы при любой нагрузке. Этот метод предложен выдающимся немецким ученым О. Мором.

Пусть, например, требуется определить вертикальное перемещение точки В балки, представленной на рис. VII.18, a. заданное (грузовое) состояние обозначим f. Выберем вспомогательное состояние той же балки с единичной (безразмерной) силой, действующей в точке В и в направлении искомого перемещения. Вспомогательное состояние обозначим k (рис. VII.18, б).

Вычислим работу внешних и внутренних сил вспомогательного состояния на перемещениях, вызванных действием сил грузового состояния.

Работа внешних сил равна произведению единичной силы на искомое перемещение u_В:

а работа внутренних сил равна интегралу:

Но в силу равенства [VII.37] имеет или

(VII.39)

Эта формула и есть формула Мора (интеграл Мора), которая дает возможность определить перемещение в любой точке линейно-деформируемой системы.

В этой формуле подынтегральное произведение M_kM_f положительно, если оба изгибающих момента имеют одинаковый знак, и отрицательно, если M_k и M_f имеют разные знаки.

Если бы мы определяли угловое перемещение в точке В, то в состоянии k следовало бы приложить в точке В момент, равный единице (без размерности).

Обозначая D любое перемещение (линейное или угловое), формулу (интеграл) Мора напишем в виде

(VII.40)

В общем случае аналитическое выражение M_k и M_f может быть различным на разных участках балки или вообще упругой системы. Поэтому вместо формулы (VI 1.40) следует пользоваться более общей формулой

(VII.41)

Если стержни систем работают на изгиб и растяжение, то вместо формулы (VII.41) следует пользоваться формулой

(VII.42)

В частном случае, когда стержни работают только на растяжение или сжатие (фермы), формула для определения перемещений имеет вид

(VII.43)

В этой формуле произведение N_kN_f положительно, если оба усилия растягивающие или оба сжимающие.

При расчете рам, когда стержни работают одновременно и на изгиб, и на растяжение (сжатие), в обычных случаях, как показывают сравнительные расчеты, перемещения можно определять, учитывая лишь изгибающие моменты, так как влияние продольных сил весьма мало.

По тем же соображениям, как отмечалось ранее (см. § 57), в обычных случаях можно не учитывать влияния поперечных сил.

Если состояния f и k одинаковы, то вместо формул (VII.41), (V11.42) и (V11.43) получим:

(VII.44)

(VII.45)

(VII.46)

Вместо непосредственного вычисления интеграла Мора (VI1.40) можно пользоваться графоаналитическим приемом “способом перемножения эпюр”, или правилом Верещагина.

Рассмотрим две эпюры изгибающих моментов, из которых одна, М_f, имеет произвольное очертание, а другая, М_k, прямолинейная (рис. VII. 19, а, б).

Сечение стержня на участке ВD будем считать постоянным. В этом случае

Величина М_f dz представляет собой элементарную площадь dA_f эпюры М_f (заштрихована на рисунке). Таким образом

Но, M_k = z tg α, следовательно,

Но представляет собой статический момент площади эпюры М_f относительно некоторой оси у, проходящей через точку О, равный А_f z_c, где А_f – площадь эпюры моментов; z_c – расстояние от оси у до центра тяжести эпюры М_f.

Из чертежа видно, что z_c = M_kc / tg α, где M_kc – ордината эпюры M_k, расположенная под центром тяжести эпюры M_f (под точкой С). Следовательно,

, (VII.47)

т.е. искомый интеграл равен произведению площади эпюрыМ_f (любой по очертанию) на расположенную под ее центром тяжести ординату прямолинейной эпюры М_kc.

Окончательно имеем следующую формулу Верещагина для определения перемещений:

(VII.48)

Величина А_fМ_kc считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону стержня, и отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента).

Необходимо помнить, что ордината М_kc берется обязательно в прямолинейной эпюре. В том частном случае, если обе эпюры прямолинейные, можно умножить площадь любой из них на соответствующую ординату другой.

Для стержней переменного сечения правило Верещагина перемножения эпюр неприменимо, так как в этом случае уже нельзя выносить величину ЕI из-под знака интеграла. Здесь следует выразить ЕI как функцию абсциссы сечения и затем уже вычислять интеграл Мора (VI 1.39).

При ступенчатом изменении жесткости стержня интегрирование (или перемножение эпюр) производят для каждого участка отдельно (со своим значением ЕI) и затем суммируют результаты.

Определять перемещения по способу Верещагина можно не только в стержнях с прямой осью, но и в стержнях, имеющих ломаную ось.

Для ускорения вычислений можно использовать готовые таблицы перемножения эпюр (табл. VII.2). В этой таблице в клетках на пересечении соответствующих элементарных эпюр приведены результаты перемножения этих эпюр.

При разбивке сложной эпюры на элементарные, представленные в табл. VII.1 и VI1.2, следует иметь в виду, что параболические эпюры получены от действия только одной распределенной нагрузки.

В тех случаях, когда в сложной эпюре криволинейные участки получаются от одновременного действия сосредоточенных моментов, сил и равномерно распределенной нагрузки, во избежание ошибки следует сложную эпюру предварительно «расслоить», т. е. разбить ее на ряд самостоятельных эпюр: от действия сосредоточенных моментов, сил и от действия равномерно распределенной нагрузки (см. примеры).

Можно также применить другой пример, не требующий расслоения эпюр, а требующий лишь выделения криволинейной части эпюры по хорде, соединяющей крайние ее точки. Покажем оба способа на конкретном примере. Пусть, например, требуется определить вертикальное перемещение левого конца балки (рис. VII.20).

Суммарная эпюра от нагрузки представлена на рис. VII.20, а.

Эпюра от действия единичной силы в точке D представлена на рис. VII.20, г.

Для определения вертикального перемещения в точке D необходимо перемножить эпюру от нагрузки на эпюру от единичной силы.

Однако замечаем, что на участке ВС суммарной эпюры криволинейная эпюра получена не только от действия равномерно распределенной нагрузки, но также и от действия сосредоточенной силы F. В результате на участке ВС уже будет не элементарная параболическая эпюра, приведенная в табл. VII.1 и VII.2, а, по существу, сложная эпюра, для которой данные этих таблиц недействительны.

Поэтому необходимо произвести расслоение сложной эпюры по рис. VI 1.20, а на элементарные эпюры, представленные на рис. VII.20, б, в.

Эпюра на рис. VI 1.20, б получена только от сосредоточенной силы, эпюра по рис. VI 1.20, в – только от действия равномерно распределенной нагрузки.

Теперь можно перемножить эпюры, используя табл. VII.1 или VII.2.

Для этого необходимо перемножить треугольную эпюру по рис. VII.20, б на треугольную эпюру по рис. VII. 20, г и добавить к этому результат перемножения параболической эпюры на рис. VII.20, в на трапециевидную эпюру участка ВС по рис. VII.20, г, так как на участке DВ ординаты эпюры по рис. VII. 20, в равны нулю.

Покажем теперь второй способ перемножения эпюр.

Рассмотрим снова эпюру по рис. VII.20, а. Примем начало отсчета в сечении В. Покажем, что в пределах кривой LMN изгибающие моменты могут быть получены как алгебраическая сумма изгибающих моментов, соответствующих прямой LN, и изгибающих моментов параболической эпюры LNML, такой же, как и для простой балки длиной а, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q (см. пример VI. 6):

Наибольшая ордината посредине равна qa²/8. Для доказательства напишем фактическое выражение изгибающего момента в сечении на расстоянии z от точки В:

(1)

Напишем теперь выражение изгибающего момента в том же сечении, полученное как алгебраическая сумма ординат прямой LN и параболы LNML.

Уравнение прямой LN

где k – тангенс угла наклона этой прямой:

Следовательно, уравнение изгибающих моментов, полученное как алгебраическая сумма уравнения прямой LN и параболы LNML, имеет вид

что совпадает с выражением (1).

При перемножении эпюр по правилу Верещагина следует перемножать трапецию BLNC на трапецию из единичной эпюры на участке ВС (рис. VII.20, г) и вычесть результат перемножения параболической эпюры LNML (площадью ) на ту же трапецию из единичной эпюры. Такой способ расслоения эпюр особенно выгоден, когда криволинейный участок эпюры находится на одном из средних участков балки.

Пример VII.12. Определить вертикальное и угловое перемещения консольной балки в месте приложения нагрузки (рис. VII.21).

Р е ш е н и е. Строим эпюру изгибающих моментов для грузового состояния (рис. VII.21, а).

Для определения вертикального перемещения выбираем вспомогательное состояние балки с единичной силой в точке приложения нагрузки.

Строим эпюру изгибающих моментов от этой силы (рис. VII.21, б). Определяем вертикальное перемещение по способу Мора:

.

Значение изгибающего момента от нагрузки М_f = - Fz. Значение изгибающего момента от единичной силы М_k = - 1z.

Подставляем эти значения М_k и М_f под знак интеграла и интегрируем:

Этот же результат был ранее получен другим способом.

Положительное значение прогиба показывает, что точка приложения нагрузки F перемещается вниз (в направлении единичной силы).

Если бы мы единичную силу направили снизу вверх, то имели бы М_k = 1• z и в результате интегрирования получили бы прогиб со знаком минус. Знак минус показывал бы, что перемещение происходит не вверх, а вниз, как это и есть в действительности.

Вычислим теперь интеграл Мора путем перемножения эпюр по правилу Верещагина.

Так как обе эпюры прямолинейны, то безразлично, из какой эпюры брать площадь и из какой – ординату.

Площадь грузовой эпюры A_f = 0,5 Fl²

Центр тяжести этой эпюры расположен на расстоянии l/3 от заделки.

Определяем ординату эпюры моментов от единичной силы, расположенную под центром тяжести грузовой эпюры. Легко убедиться, что она равна . Следовательно,

Тот же результат получается и по таблице интегралов. Результат перемножения эпюр положителен, так как обе эпюры располагаются снизу стержня. Следовательно, точка приложения нагрузки смещается вниз, т. е. по принятому направлению единичной силы.

Для определения углового перемещения (угла поворота) выбираем вспомогательное состояние балки, в котором на конце балки действует сосредоточенный момент, равный единице.

Строим эпюру изгибающих моментов для этого случая (рис. VII.21, в).

Определяем угловое перемещение, перемножая эпюры. Площадь грузовой эпюры A_f = 0,5 Fl²

Ординаты эпюры от единичного момента везде равны единице. Следовательно, искомый угол поворота сечения

Так как обе эпюры расположены снизу, то результат перемножения эпюр положителен. Таким образом, концевое сечение балки поворачивается по часовой стрелке (по направлению единичного момента).

Пример VII.13. Определить со способу Мора – Верещагина угол поворота на левой опоре и прогиб посередине балки, представленной на рис. VII.22.

Р е ш е н и е. Строим приведенную эпюру М_red от нагрузки (рис. VII.22, а). Для определения угла J_а строим эпюру изгибающих моментов от единичного момента на левой опоре (рис. VII.22, б).

Для определения J_а перемножаем эпюру М_red на эпюру М₁

(по часовой стрелке).

Для определения прогиба посередине балки прикладываем в этом сечении единичную силу, строим эпюру моментов (рис. VII.22, в) и перемножаем ее на эпюру М_red. Ввиду симметрии задачу перемножения производим для половины балки и результат удваиваем:

(вниз)

Те же значения J_а и J_с были получены в примере VII.6 другим способом.

Пример VII.14. Определить по способу Мора – Верещагина прогиб в точке D для балки, изображенной на рис. VII.23. Суммарная эпюра изгибающих моментов показана на рис. VI.14.

Р е ш е н и е. Строим расслоенную эпюру моментов от нагрузки, т.е. строим отдельные эпюры от действия каждой нагрузки. При этом для удобства перемножения эпюр целесообразно строить расслоенные (элементарные) эпюры относительно сечения, прогиб которого определяется в данном случае относительно сечения D.

На рис. VII.23, а представлена эпюра изгибающих моментов от реакции R_А (участок АD) и от нагрузки F = 40 кН (участок DС). Эпюры строятся на сжатом волокне.

На рис. VII.23, б представлены эпюры моментов от реакции R_в (участок ВD) от левой равномерно распределенной нагрузки (участок АD) и от равномерно распределенной нагрузки, действующей на участке ВС. Эта эпюра изображена на рис. VII.23, б на участке DС снизу.

Далее выбираем вспомогательное состояние балки, для чего в точке D, где определяется прогиб, прикладываем единичную силу (рис. VII.23, в). Эпюра моментов от единичной силы изображена на рис. VII.23, г. Теперь перемножим эпюры с 1 по 7 на эпюры 8 и 9, пользуясь таблицами перемножения эпюр, с учетом знаков. При этом эпюры, расположенные с одной стороны балки, перемножаются со знаком плюс, а эпюры, расположенные по разные стороны балки, перемножаются со знаком минус.

При перемножении эпюр 1 и 8 получим

кН м³.

Перемножая эпюры 5 и 8, получим

кН м³.

Перемножение эпюр 2 и 9 дает

кН м³.

Перемножая эпюры 4 и 9

кН м³.

Перемножаем эпюры 6 и 9

кН м³.

Суммируя результаты перемножения эпюр, получим EIu_D = - 86,7 кН/м³. Знак минус показывает, что точка D перемещается не вниз, как направлена единичная сила, а вверх. Этот же результат был получен ранее по универсальному уравнению (см. пример. VII.11).

Конечно, в данном примере можно было расслоить эпюру только на участке АD, так как на участке DВ суммарная эпюра прямолинейная и ее незачем расслаивать. На участке ВС расслоения не требуется, так как от единичной силы на этом участке эпюра равна нулю. Расслоение эпюры на участке ВС необходимо для определения прогиба в точке С.

Пример VII.15. Определить вертикальное, горизонтальное и угловое перемещения сечения В ломаного стержня, представленного на рис. VП.24, а. Жесткость сечения вертикального стержня ЕI₁, жесткость сечения горизонтального участка ЕI₂.

Р е ш е н и е. Строим эпюру изгибающих моментов от нагрузки. Она представлена на рис. VII.24, б (см. пример V1.9). Для определения вертикального перемещения сечения В выбираем вспомогательное состояние системы, представленное на рис. VII.24, в. В точке В приложена единичная вертикальная сила, направленная вниз.

Эпюра изгибающих моментов для этого состояния представлена на рис. V11.24, в.

Определяем вертикальное перемещение по методу Мора, используя перемножения эпюр. Так как на вертикальном стержне во вспомогательном состоянии эпюра М₁ отсутствует, то перемножаем только эпюры, относящиеся к горизонтальному стержню. Площадь эпюры берем из грузового состояния, а ординату – из вспомогательного. Вертикальное перемещение

.

Так как обе эпюры расположены снизу, то результат перемножения берем со знаком плюс. Следовательно, точка В перемещается вниз, т.е. так, как направлена единичная вертикальная сила.

Для определения горизонтального перемещения точки В выбираем вспомогательное состояние с горизонтальной единичной силой, направленной влево (рис. VII.24, г). Эпюра моментов для этого случая представлена там же.

Перемножаем эпюры М₁ и М₂ и получаем

Результат перемножения эпюр положителен, так как перемноженные эпюры располагаются на одной и той же стороне стержней.

Для определения углового перемещения выбираем вспомогательное состояние системы по рис. VII.24, д и строим эпюру изгибающих моментов для этого состояния (на том же рисунке). Перемножаем эпюры М_f и М₃

Результат перемножения эпюр положителен, так как перемноженные эпюры располагаются с одной стороны. Следовательно, сечение В поворачивается по часовой стрелке.

Те же результаты получились бы и при использовании таблиц перемножения эпюр. Вид деформированного стержня показан на рис. VII.24, е, при этом перемещения сильно увеличены.

§ 63. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК

Балки, внутренние усилия в которых не могут быть найдены из одних только уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

Для расчета таких балок кроме уравнений статики необходимо составлять дополнительные уравнения, называемые уравне-ниями перемещений (или уравнениями деформаций).

Они получаются из рассмотрения условий деформации балки.

Рассмотрим, например, балку, изображенную на рис. VI 1.25, а. Число неизвестных опорных реакций равно четырем: три реакции заделки и одна реакция подвижной опоры. Уравнений статики – три. Таким образом, лишних неизвестных – одно. Балка один раз статически неопределима. Лишние неизвестные в задачах такого Типа являются результатом на-

Поиск по сайту: