Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Примеры определения перемещений при изгибе графоаналитическим методом и по универсальным уравнениям



Пример. 2. Определить прогиб свободного конца консольной балки с сосредоточенной нагрузкой на конце (рис. VII.7, а).

 

Р е ш е н и е. Помещаем начало координат в заделке, тогда u0 = 0 и J0 = 0. Строим эпюру изгибающих моментов. Центр тяжести эпюры на расстоянии 2l/3 от правого конца. По формуле (VII.13) определяем EIJв как площадь эпюры М между началом координат и сечением В:

рис. 7.7.

Знак минус берем потому, что эпюра М отрицательна, откуда , (по часовой стрелке).

По формуле (VII.16) прогиб определяем как статический момент всей площади эпюры относительно сечения В:

откуда (в направлении отрицательной оси у, т.е. вниз). Знак минус при вычислении S'в взят потому, что эпюра М отрицательна.

 

Пример VII.3. Определить прогиб свободного конца консольной балки, показанной на рис. VII.7, б.

Р е ш е н и е. Помещаем начало координат в заделке, тогда u0 = 0 и J0 = 0.

Эпюру изгибающих моментов «расслаиваем», т. е. представляем ее как сумму эпюр от действия каждой силы (два треугольника).

По формуле (VII.13) определим угол поворота:

(по часовой стрелке).

По формуле (VII. 16) определим прогиб:

(вниз).

Площадь и статический момент эпюры моментов взяты со знаком минус, так как эпюра М отрицательна.

 

Пример V11.4. Определить прогиб под нагрузкой для балки, показанной на рис. VII.8.

Р е ш е н и е. Помещаем начало координат на левом конце, тогда u0 = 0.

Строим эпюру М.

Для определения J0 используем условие (ввиду симметрии изогнутой оси балки). По формуле (VII.13) имеем

,

откуда (по часовой стрелке).

Площадь А' взята со знаком плюc, потому что эпюра М положительна.

По формуле (VII.16) найдем

(вниз) (VII.23)

Знак плюс при вычислении S'D взят потому, что эпюра М положительна. Этот пример можно решить проще, если поместить начало координат в точке K. Тогда u0 = 0 и J0 = 0. Перемещение точки В относительно точки K найдем по формуле (VII.16):

(вверх)

Следовательно, (вниз)

 

Пример VI1.5. Определить прогиб свободного конца балки, показанной на рис. VII.9, а.

Р е ш е н и е. Помещаем начало координат в заделке, тогда u0 = 0 и J0 = 0. Строим эпюру М и приведенную эпюру Мred, в которой ординаты М поделены на жесткость балки (рис. VII.9, б).

По формуле (VII. 17) имеем

(по часовой стрелке)

Разбивая эпюру на три простейших фигуры 1, 2, 3 получим по формуле (VII. 18)

(вниз)

 

Пример VII.6. Определить прогиб среднего сечения балки, показанной на рис. VII. 10, а.

Решение. Помещаем начало координат на левом конце балки, тогда u0 = 0 Строим эпюру М и приведенную эпюру Мred, которой ординаты М поделены на жесткость балки (рис. VII. 10, б).

Для определения J0 используем условие uz=1,5l = 0 (ввиду симметрии).

По формуле (VII.17) имеем uc = J0 +Ared или

Откуда (по часовой стрелке). Определяем прогиб при z = 1,5 l по формуле (VII.18)

(вниз)

Этот пример можно решить проще, если, используя симметрию, поместить начало координат в точке К. Тогда перемещение точки В относительно точки К по формуле (VII. 18) будет равно (при u0 = J0 = 0)

(вверх)

Следовательно, (вниз)

Пример VII.7. Определить по универсальным уравнениям максимальные прогиб и угол поворота для консоли при действии равномерно распределенной нагрузки (рис. VII.11).

Решение. Начало координат выгоднее поместить на левом конце балки, так как при этом u0 = 0 и J0 = 0

Следовательно, по универсаль- ным уравнениям (VII.21) и (VII.22) сразу можно вычислить umax и Jmax, которые, как видно из чертежа, будут иметь место в сечении, где z = l.

Чтобы пользоваться универсальными уравнениями, необходимо, как уже было сказано, брать силы и моменты, находящиеся между данным сечением и началом координат. Для этого предварительно определим реактивный момент и реактивную силу в заделке.

Реактивная сила RA =ql и направлена вверх. В универсальные уравнения она войдет со знаком плюс. Реактивный момент MA = ql2 /2 направлен против часовой стрелки. Его следует учитывать со знаком минус.

Расстояние от начала координат до момента, опорной реакции и до начала равномерно распределенной нагрузки равны нулю (рис.)

Определяем u при z = l, т.е. umax :

.

Следовательно, (вниз)

Из универсального уравнения для углов поворота получим

Следовательно, (по часовой стрелке)

 

Пример VП.8. Определить umax и u¢max для консольной балки при действии пары Ме на свободном конце (рис. VII.12).

Р е ш е н и е. Начало координат помещаем на левом конце балки. Тогда u0 = 0 и J0 = 0. Опорные реакции равны RA = 0, а МA = М и направлен против часовой стрелки.

Значения umax и u¢max будут на правом конце балки при z = l. Применяя универсальные уравнения, получим:

, (вниз) (VII.26)

, (VII.27)

 

Пример V11.9. Определить umax и Jmax для балки, показанной на рис. VII. 13.

Р е ш е н и е. В силу симметрии реакции равны RA = RB = ql/2

Помещаем начало координат на левой опоре. Тогда u0 = 0.

Для определения J0 используем условие, что при z = l u = 0. Получим

,

Откуда . Очевидно, JA = - JB.

Заметим, что наибольшие углы поворота имеют опорные сечения. Максимальный прогиб находится посередине пролета балки:

Следовательно, (вниз). (VII.28)

 

Пример VII.10. Определить максимальный прогиб и угол поворота на опорах для балки, нагруженной посередине пролета сосредоточенной силой (рис. VII. 14).

Р е ш е н и е. Реакции равны F/2 каждая и направлены снизу вверх.

Помещаем начало координат на левом конце, тогда u0 = 0. Для определения J0 используем условие, что при z = l прогиб равен нулю (u = 0)*:

откуда

Следовательно, J = JA = Jmax = - /( )

Ввиду симметрии угол поворота на правой опоре JВ = -JА = .

Максимальный прогиб umax = следовательно,

* В данном случае можно было определить J0 также из условия, что посередине пролета касательная к упругой линии горизонтальна, т. е.

 

Окончательно

(вниз) (VII.29)

 

Пример VII.11. Определить прогибы в точках D и С и угол поворота в точке В балки, изображенной на рис. VII.15. Момент инерции сечения балки I =13 380 см4 = 13 380·10-8 м4 (двутавр № 36); E = 2·105 МПа.

 

Р е ш е н и е. Определяем опорные реакции:

1. ; кН.

2. кН.

Помещаем начало координат на левой опоре. Тогда u0 = 0. Угол J0 определяем из условия, что при z = 4 м u = 0.

По универсальному уравнению для прогибов при z = 4 м имеем

Так как распределенная нагрузка обрывается в точке D, то согласно сказанному ранее продолжаем ее до конца, но вводим компенсирующую нагрузку обратного направления на участке DВ. Последний член как раз и учитывает распределенную нагрузку, действующую снизу вверх (на чертеже указанные преобразования нагрузки не отражены).

Произведя вычисления, получаем Определяем прогибы:

в точке С (z = 6 м)

кН·м3 = -0,393 МН·м3;

в точке D

кН·м3 = МН·м3.

Окончательно получаем

м = см.

м = см.

Определяем угол поворота в точке В. По универсальному уравнению для углов поворота при z = 4 м имеем

кНм2,

откуда рад.

 

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.